
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а) Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды больше .
б) Найдите площадь вписанной.
а) Пусть МН — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной М. тогда треугольник АМН прямоугольный. МA = 10, МН = 6, откуда
Треугольник АВН прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике AMB высота
В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН высота
Заметим, что MNH - линейный угол искомого двугранного угла. В прямоугольном треугольнике MNH катет MH больше катета NH, так как , поэтому угол, лежащий напротив MH, больше, чем угол, лежащий напротив NH, а значит больше, чем
.
б) Центр О сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани АМВ лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому
где r — радиус сферы.
Площадь сферы
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
---|---|
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |