Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 503321

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)

а) Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды больше 45 градусов.

б) Найдите площадь вписанной.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть МН — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной М. тогда треугольник АМН прямоугольный. МA = 10, МН = 6, откуда

AH= корень из (MA в квадрате минус MH в квадрате ) =8.

Треугольник АВН прямоугольный равнобедренный, следовательно, AB=AH корень из (2) =8 корень из (2) . В треугольнике AMB высота

MN= корень из (MA в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) =2 корень из (17) .

В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН высота

NH= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби =4 корень из (2) .

Заметим, что MNH - линейный угол искомого двугранного угла. В прямоугольном треугольнике MNH катет MH больше катета NH, так как 6= корень из (36) больше корень из (32) =4 корень из (2) , поэтому угол, лежащий напротив MH, больше, чем угол, лежащий напротив NH, а значит больше, чем 45 градусов.

 

б) Центр О сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани АМВ лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому

MO:OK=MN:HN равносильно левая круглая скобка 6 минус r правая круглая скобка умножить на 4 корень из (2) =2 корень из (17) умножить на r равносильно r= дробь: числитель: 4 корень из (34) минус 16, знаменатель: 3 конец дроби ,

где r — радиус сферы.

Площадь сферы S=4 Пи r в квадрате = дробь: числитель: 128 левая круглая скобка 25 минус 4 корень из (34) правая круглая скобка Пи , знаменатель: 9 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 128 левая круглая скобка 25 минус 4 корень из (34) правая круглая скобка Пи , знаменатель: 9 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 502023: 502054 503321 503361 511368 511384 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 701., Задания 14 (С2) ЕГЭ 2013