а)  Пусть МН  — вы­со­та пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD с вер­ши­ной М. тогда тре­уголь­ник АМН пря­мо­уголь­ный. МA  =  10, МН  =  6, от­ку­да

Тре­уголь­ник АВН пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВН вы­со­та

За­ме­тим, что MNH  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MNH катет MH боль­ше ка­те­та NH, по­сколь­ку по­это­му угол, ле­жа­щий на­про­тив MH, боль­ше, чем угол, ле­жа­щий на­про­тив NH, а зна­чит, боль­ше, чем

б)  Центр О сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани АМВ лежит на от­рез­ке MN. Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

где r  — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы

Ответ:

а)  Пусть MH  — вы­со­та пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH  — пря­мо­уголь­ный, от­ку­да

Тре­уголь­ник ABH  — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

За­ме­тим, что угол MNH -- ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла. Его синус равен По­это­му

б)  В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABH вы­со­та

Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

где r  — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы

Ответ: