В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)
а) Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды больше, чем 
.
б) Найдите площадь вписанной сферы.
а) Пусть MH — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной M, тогда треугольник AMH — прямоугольный, 
откуда
Треугольник ABH — прямоугольный равнобедренный, следовательно, 
В треугольнике AMB высота 
Заметим, что угол MNH -- линейный угол искомого двугранного угла. Его синус равен 
. Поэтому 
.
б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABH высота 
Центр O сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке 
Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому
где r — радиус сферы.
Площадь сферы 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Мне кажется у вас ошибка при нахождение радиуса . Не могли бы вы подробно пояснить нахождение радиуса
Все верно. Куда уж подробнее?
13*r=(7-r)*2*30^(1/2)
До этого момента решение схожее, дальше в решении на сайте идет бездоказательный переход, у меня получилось так:
13*r+2*r*30^(1/2)=14*30^(1/2) ===>
r*(13+2*30^(1/2)=14*30^(1/2)===>
r=(14*30^(1/2))/(13+2*30^(1/2))
Проверки показали, что этот радиус является верным и никак к вашему не приводится.
Кстати говоря, решение выходит:
S=(4*(пи)*196*30)/(169+52*30^(1/2)+120)
Именно такой радиус и получается в решении. Домножьте на сопряжённое:
числитель и знаменатель, тогда, после сокращений, получите то же, что и в решении.