Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 503361

В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.)

а) Докажите, что двугранный угол при основании пирамиды больше, чем 30 в степени (\circ) .

б) Найдите площадь вписанной сферы.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть MH — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной M, тогда треугольник AMH — прямоугольный, MA=17,MH = 7, откуда

AH= корень из (MA в квадрате минус MH в квадрате ) =4 корень из (15) .

Треугольник ABH — прямоугольный равнобедренный, следовательно, AB=AH корень из (2) =4 корень из (30) . В треугольнике AMB высота MN= корень из (MA в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) =13.

Заметим, что угол MNH -- линейный угол искомого двугранного угла. Его синус равен  дробь: числитель: MH, знаменатель: MN конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 13 конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Поэтому \angle MNH больше 30 в степени (\circ) .

 

б) В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABH высота HN= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби =2 корень из (30) .

Центр O сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани AMB лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому

MO:OK=MN:HN равносильно дробь: числитель: 7 минус r, знаменатель: r конец дроби = дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 корень из (30) конец дроби равносильно (7 минус r) умножить на 2 корень из (30) =13 умножить на r равносильно r= дробь: числитель: 26 корень из (30) минус 120, знаменатель: 7 конец дроби ,

где r — радиус сферы.

Площадь сферы S=4 Пи r в квадрате = дробь: числитель: 480(289 минус 52 корень из (30) ) Пи , знаменатель: 49 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 480(289 минус 52 корень из (30) ) Пи , знаменатель: 49 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 502023: 502054 503321 503361 511368 511384 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 702., Задания 14 (С2) ЕГЭ 2013
Спрятать решение · Прототип задания · ·
Гость 24.12.2013 22:01

Мне кажется у вас ошибка при нахождение радиуса . Не могли бы вы подробно пояснить нахождение радиуса

Константин Лавров

Все верно. Куда уж подробнее?

Александр Крылов 10.12.2014 00:37

13*r=(7-r)*2*30^(1/2)

До этого момента решение схожее, дальше в решении на сайте идет бездоказательный переход, у меня получилось так:

13*r+2*r*30^(1/2)=14*30^(1/2) ===>

r*(13+2*30^(1/2)=14*30^(1/2)===>

r=(14*30^(1/2))/(13+2*30^(1/2))

Проверки показали, что этот радиус является верным и никак к вашему не приводится.

Кстати говоря, решение выходит:

S=(4*(пи)*196*30)/(169+52*30^(1/2)+120)

Сергей Никифоров

Именно такой радиус и получается в решении. Домножьте на сопряжённое: 13 минус 2 корень из (30) числитель и знаменатель, тогда, после сокращений, получите то же, что и в решении.