Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно к, то выполнено 100a + 10b + c = ka + kb + kc.
а) Если частное равно 12, то 100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c; 88а = 2b + 11c, что верно, например, при b = 0, a = 1, c = 8: частное числа 108 и суммы его цифр равно 12.
б) Если частное равно 87, то 100a + 10b + c = 87a + 87b + 87c. Получаем: a < 10: 13a < 130; 77b + 86c < 130. Значит, b = 0, c = 1 или b = 1, c = 0. Но ни 77, ни 86 не делится на 13. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 87.
в) Частное числа 198 и суммы его цифр равно 11.
Пусть k — наименьшее натуральное значение частного числа и суммы его цифр — равно 10 или меньше. Тогда 
Учитывая условие 
получаем неравенство
откуда 
Это противоречит условию 
Значит, наименьшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 11.
Ответ: а) да; б) нет; в) 11.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е; — оба набора задуманных чисел в п. в | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |