Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 503325

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?

в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Спрятать решение

Решение.

Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно к, то выполнено 100a + 10b + c = ka + kb + kc.

а) Если частное равно 12, то 100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c; 88а = 2b + 11c, что верно, например, при b = 0, a = 1, c = 8: частное числа 108 и суммы его цифр равно 12.

б) Если частное равно 87, то 100a + 10b + c = 87a + 87b + 87c. Получаем: a < 10: 13a < 130; 77b + 86c < 130. Значит, b = 0, c = 1 или b = 1, c = 0. Но ни 77, ни 86 не делится на 13. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 87.

в) Частное числа 198 и суммы его цифр равно 11.

Пусть k — наименьшее натуральное значение частного числа и суммы его цифр — равно 10 или меньше. Тогда  левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a плюс левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка b= левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c. Учитывая условие k меньше или равно 10, получаем неравенство

100 минус k меньше или равно левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a меньше или равно левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a плюс левая круглая скобка 10 минус k правая круглая скобка b= левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c\leqslant9 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка ,

откуда 100 минус k\leqslant9 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка равносильно 10k\geqslant109 равносильно k\geqslant10,9. Это противоречит условию k меньше или равно 10. Значит, наименьшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 11.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е;

— оба набора задуманных чисел в п. в

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 502027: 521670 502058 503325 503365 511370 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 701., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Числа и их свойства