Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д6 C2 № 504830

Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC . Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Радиус основания конуса равен 1.

а) Докажите, что треугольник ADP, где AD||BC и AD − хорда основания, является искомым сечением.

б) Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения.

Решение.

а) Пусть отрезок AD ― хорда основания, параллельная BC. Тогда треугольник ADP является искомым сечением, так как плоскость ADP содержит прямую AP и прямую AD, параллельную BC.

 

б) Опустим перпендикуляр PK на прямую AD. Согласно теореме о трех перпендикулярах OK также является перпендикуляром к AD, значит, AD\perp (OPK). Высота OF треугольника OPK лежит в плоскости OPK, следовательно, OF\perp AD и OF\perp PK, значит, OF\perp (ADP).

Далее находим:

1) из условия AD||BC: \angle DAC =\angle BCA=60 в степени circ;

2) из правильного треугольника AOD: OK= дробь, числитель — AO корень из { 3}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 ;

3) из прямоугольного треугольника APO: PO в степени 2 =AP в степени 2 минус AO в степени 2 =4R в степени 2 минус R в степени 2 =3;

4) из прямоугольного треугольника KPO:

а) KP= корень из { PO в степени 2 плюс KO в степени 2 }= дробь, числитель — корень из { 15}, знаменатель — 2 ;

б) OF= дробь, числитель — OK умножить на OP, знаменатель — PK = дробь, числитель — корень из { 3} умножить на корень из { 3} умножить на 2, знаменатель — 2 умножить на корень из { 15 }= дробь, числитель — 3, знаменатель — корень из { 15 }.

 

Ответ:  дробь, числитель — 3, знаменатель — корень из { 15 }.


Аналоги к заданию № 504830: 504851 Все

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Конус, Построения в пространстве, Расстояние от точки до плоскости, Сечение -- треугольник, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Даниэль Рожкевич 31.05.2014 16:01

Почему AOD — правильный?

Константин Лавров

Потому, что AD||BC.

Гость 17.03.2015 05:28

В пункте №3 AP принимаете равным 2R. Это не факт. Таких данных нет.

Александр Иванов

По условию АР равно диаметру. Это факт

Гость 16.04.2015 12:17

С чего вы взяли, что треугольник AOD правильный? Ведь он будет равнобедренным.Так как AO и DO радиусы, а DA ведь не является им и в условии не сказано.

Александр Иванов

равнобедренный треугольник с углом 60о является правильным