Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 504830

Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC . Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Радиус основания конуса равен 1.

а) Докажите, что треугольник ADP, где AD||BC и AD − хорда основания, является искомым сечением.

б) Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть отрезок AD ― хорда основания, параллельная BC. Тогда треугольник ADP является искомым сечением, так как плоскость ADP содержит прямую AP и прямую AD, параллельную BC.

 

б) Опустим перпендикуляр PK на прямую AD. Согласно теореме о трех перпендикулярах OK также является перпендикуляром к AD, значит, AD\perp левая круглая скобка OPK правая круглая скобка . Высота OF треугольника OPK лежит в плоскости OPK, следовательно, OF\perp AD и OF\perp PK, значит, OF\perp левая круглая скобка ADP правая круглая скобка .

Далее находим:

1) из условия AD||BC: \angle DAC =\angle BCA=60 градусов;

2) из правильного треугольника AOD: OK= дробь: числитель: AO корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби ;

3) из прямоугольного треугольника APO: PO в квадрате =AP в квадрате минус AO в квадрате =4R в квадрате минус R в квадрате =3;

4) из прямоугольного треугольника KPO:

а) KP= корень из PO в квадрате плюс KO в квадрате = дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 2 конец дроби ;

б) OF= дробь: числитель: OK умножить на OP, знаменатель: PK конец дроби = дробь: числитель: корень из 3 умножить на корень из 3 умножить на 2, знаменатель: 2 умножить на корень из 15 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 15 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 15 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
В результате использования верных утверждений и формул получен верный ответ. Обоснование не содержит неверных утверждений.2
В результате использования верных утверждений и формул задача доведена до ответа, но получен неверный ответ в результате допущенной вычислительной ошибки или описки. Обоснование не содержит неверных утверждений*

Все промежуточные вычисления и полученный ответ верны, но обоснование отсутствует или содержит неверные утверждения.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

 

*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода


Аналоги к заданию № 504830: 504851 Все

Источник: Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014. Вариант 1.
Спрятать решение · ·
Даниэль Рожкевич 31.05.2014 16:01

Почему AOD — правильный?

Константин Лавров

Потому, что AD||BC.

Гость 17.03.2015 05:28

В пункте №3 AP принимаете равным 2R. Это не факт. Таких данных нет.

Александр Иванов

По условию АР равно диаметру. Это факт

Гость 16.04.2015 12:17

С чего вы взяли, что треугольник AOD правильный? Ведь он будет равнобедренным.Так как AO и DO радиусы, а DA ведь не является им и в условии не сказано.

Александр Иванов

равнобедренный треугольник с углом 60о является правильным