Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 505174

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 2.

а) Докажите, что высоты пирамиды, проведенные из вершин A и S, пересекаются в одной точке.

б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Спрятать решение

Решение.

 

а) Пусть SO и AH – высоты пирамиды. Точка M − середина BC. Заметим, что точка O лежит на высоте равностороннего треугольника ABC, то есть на отрезке AM. Точка A равноудалена от B и С, поэтому и ее проекция на плоскость − H равноудалена от B и С. Значит, точка H лежит на серединном перпендикуляре к BC - прямой SM. Таким образом, AH и SO лежат в плоскости ASM, а значит пересекаются в одной точке.

 

б)

AO= дробь: числитель: AB, знаменатель: корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 3, знаменатель: 3 конец дроби ,~SO= корень из SA в квадрате минус AO в квадрате = корень из 9 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из 69, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Пусть V – объём пирамиды, тогда V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на SO умножить на дробь: числитель: AB в квадрате корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из 23, знаменатель: 3 конец дроби .

С другой стороны, V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на h умножить на S_SBC, где h – искомое расстояние.

В треугольнике SBC высота SM равна  корень из SB в квадрате минус MB в квадрате = корень из 9 минус 1 =2 корень из 2.

Площадь треугольника SBC равна S_SBC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на SM умножить на BC = 2 корень из 2. Получаем, что

h= дробь: числитель: 3V, знаменатель: S_SBC конец дроби = дробь: числитель: корень из 23, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 46, знаменатель: 4 конец дроби }

 

Ответ:  дробь: числитель: корень из 46, знаменатель: 4 конец дроби }.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической

задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено.

ИЛИ

При правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 505153: 505174 511397 Все

Методы геометрии: Метод объемов