Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 511397
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC бо­ко­вое ребро равно 15, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 12.

а)  До­ка­жи­те, что AS\perp BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть от­ре­зок SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда про­ек­ци­ей пря­мой AS на плос­кость ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся пря­мая AO. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му пря­мая AO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. По­это­му, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мая AS пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

б)  В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем:

AO= дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

SO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SA в квад­ра­те минус AO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 225 минус 48 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 177 конец ар­гу­мен­та .

Пусть V  — объём пи­ра­ми­ды, тогда

V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на SO умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AB в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = 36 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 59 конец ар­гу­мен­та .

С дру­гой сто­ро­ны, V = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на h умно­жить на S_SBC, где h  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. В тре­уголь­ни­ке SBC вы­со­та SM равна

SM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SB в квад­ра­те минус MB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 225 минус 36 конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка SBC равна

S_SBC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на SM умно­жить на BC = 18 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та .

По­лу­ча­ем, что

h= дробь: чис­ли­тель: 3V, зна­ме­на­тель: S_SBC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 36 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 59 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 18 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 59 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби }.

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 59 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби }.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 505153: 505174 511397 Все

Методы геометрии: Метод объ­е­мов
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026