а)  Пусть от­ре­зок SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда про­ек­ци­ей пря­мой AS на плос­кость ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся пря­мая AO. Тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, по­это­му пря­мая AO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. По­это­му, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мая AS пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

б)  В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем:

Пусть V  — объём пи­ра­ми­ды, тогда

С дру­гой сто­ро­ны, где h  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. В тре­уголь­ни­ке SBC вы­со­та SM равна

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка SBC равна

Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC равно

Ответ:

а)  Пусть от­ре­зок SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда про­ек­ци­ей пря­мой AS на плос­кость ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся пря­мая AO. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му пря­мая AO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. По­это­му, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мая AS пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

б)  В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем:

Пусть V  — объём пи­ра­ми­ды, тогда

С дру­гой сто­ро­ны, где h  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. В тре­уголь­ни­ке SBC вы­со­та SM равна

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка SBC равна

По­лу­ча­ем, что

Ответ:

а)  Пусть SO и AH  — вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Точка M  — се­ре­ди­на BC. За­ме­тим, что точка O лежит на вы­со­те рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC, то есть на от­рез­ке AM. Точка A рав­но­уда­ле­на от B и С, по­это­му и ее про­ек­ция на плос­кость  — H рав­но­уда­ле­на от B и С. Зна­чит, точка H лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к BC  — пря­мой SM. Таким об­ра­зом, AH и SO лежат в плос­ко­сти ASM, а, зна­чит, пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем:

Пусть V  — объём пи­ра­ми­ды, тогда

С дру­гой сто­ро­ны, где h  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. В тре­уголь­ни­ке SBC вы­со­та SM равна

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка SBC равна

По­лу­ча­ем, что

Ответ: