В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 3, а сторона основания равна 2.
а) Докажите, что высоты пирамиды, проведенные из вершин A и S, пересекаются в одной точке.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Решение.
а) Пусть SO и AH – высоты пирамиды. Точка M − середина BC. Заметим, что точка O лежит на высоте равностороннего треугольника ABC, то есть на отрезке AM. Точка A равноудалена от B и С, поэтому и ее проекция на плоскость − H равноудалена от B и С. Значит, точка H лежит на серединном перпендикуляре к BC - прямой SM. Таким образом, AH и SO лежат в плоскости ASM, а значит пересекаются в одной точке.
б)

Пусть V – объём пирамиды, тогда 
С другой стороны,
где h – искомое расстояние.
В треугольнике SBC высота SM равна 
Площадь треугольника SBC равна
Получаем, что

Ответ: 