Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 505241

Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC=8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT:TM= 1:3. Вычислите объём пирамиды MPTA.

Спрятать решение

Решение.

Проведём высоту AD треугольника ABC. В тоже время AD — высота пирамиды MPTA, опущенная из вершины A на плоскость основания MPT.

AD= дробь: числитель: BC корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби = 4 корень из (3) .

Площадь треугольника MPT составляет  дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби S_BCM. Следовательно,

S_MPT= дробь: числитель: 3BC в квадрате корень из (3) , знаменатель: 32 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 64 корень из (3) , знаменатель: 32 конец дроби =6 корень из (3) .

Найдём объём пирамиды:

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_MPT умножить на AD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 6 корень из (3) умножить на 4 корень из (3) = 24.

 

Ответ: 24.

 

Приведём другое решение:

 

V_MPTA= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_MPT умножить на AD, где D — середина BC.

 

a) Поскольку AD — медиана треугольника ABC, AD — его высота. Поскольку AD \bot BC и AH \bot MH (т. к. по условию (ABC) \bot (MBC)), AD \bot (ABC), т. е. является высотой пирамиды MPTA.

 

б) S_MPT = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на S_MBC = дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на дробь: числитель: 8 в квадрате корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби = 6 корень из (3) .

 

в) AD = дробь: числитель: 8 корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби = 4 корень из (3)

 

г) V_MPTA = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 6 корень из (3) умножить на 4 корень из (3) = 24 .

 

Ответ: 24.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Ход решения верный, но получен неверный ответ в результате вычислительной ошибки,

ИЛИ

решение не закончено,

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 501549: 501555 505241 511363 Все