Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, 
Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1.
а) Докажите, что плоскость CPT делит высоту MD треугольника AMB в отношении 1 : 2, считая от точки M.
б) Вычислите объём пирамиды MPTC.
высоты правильного треугольника PMF. Отсюда ME составляет 
высоты правильного треугольника AMB. А это и требовалось доказать.
и 
откуда
Следовательно,
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3.
а) Докажите, что 
б) Вычислите объём пирамиды MPTA.
Тогда, записывая теорему косинусов для сторон CT и BP этих треугольников, получаем искомое неравенство.
В тоже время AD — высота пирамиды MPTA, опущенная из вершины A на плоскость основания 
Следовательно,
где D — середина 
кроме того, 
(поскольку по условию 
). Таким образом, 
то есть является высотой пирамиды MPTA. Находим площадь треугольника MPT:
следовательно,
тогда 
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, 
Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что 
а) Докажите, что плоскость APT делит высоту MD треугольника BMC в отношении 3 : 2, считая от точки M.
б) Вычислите объём пирамиды MPTA.
а значит 
ведь D — середина BC. Применим теорему Менелая: 
А это и требовалось доказать.
Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, 
Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что
а) Докажите, что плоскость APT делит высоту MD треугольника BMC в отношении 3 : 2, считая от точки M.
б) Вычислите объём пирамиды MPTA.
отсюда 
