Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 501549

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, AB=10 корень из (3) . Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1.

а) Докажите, что плоскость СPT делит высоту MD треугольника AMB в отношении 1:2, считая от точки M.

б) Вычислите объём пирамиды MPTC.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть плоскость CPT пересекает отрезок MD в точке E. Обозначим еще середину MB за F. Тогда E -- точка пересечения медиан треугольника PMF. Таким образом, ME составляет 2/3 высоты правильного треугольника PMF. Отсюда ME составляет 1/3 высоты правильного треугольника AMB. А это и требовалось доказать.

 

б) Проведём высоту CD треугольника ABC. В тоже время CD — высота пирамиды MPTC, опущенная из вершины C на плоскость основания MPT.

CD= дробь: числитель: AB корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 10 корень из (3) корень из (3) , знаменатель: 2 конец дроби = 15.

 дробь: числитель: MP, знаменатель: MA конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: MT, знаменатель: MB конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \Rightarrow дробь: числитель: S_MPT, знаменатель: S_MAB конец дроби = дробь: числитель: MP умножить на MT, знаменатель: MA умножить на MB конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .

Площадь треугольника MPT составляет  дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби S_ABM. Следовательно,

S_MPT= дробь: числитель: AB в квадрате корень из (3) , знаменатель: 32 конец дроби = дробь: числитель: 300 корень из (3) , знаменатель: 32 конец дроби = дробь: числитель: 75 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби .

Найдём объём пирамиды:

V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_MPT умножить на CD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 75 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби умножить на 15 = дробь: числитель: 375 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 375 корень из (3) , знаменатель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано.1
Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных критериев.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 501549: 501555 505241 511363 Все

Спрятать решение · ·
Юлия Вилья 28.03.2014 21:44

У меня возник вопрос. Почему за основание принимается треугольник MPT? Ведь при обозначении пирамид, первая буква — вершина. Значит основанием пирамиды должен быть треугольник PTC.

Александр Иванов

В треугольной пирамиде за основание можно принять любую удобную грань.