Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, 
Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что 
а) Докажите, что плоскость APT делит высоту MD треугольника BMC в отношении 3 : 2, считая от точки M.
б) Вычислите объём пирамиды MPTA.
а) Пусть плоскость APT пересекает отрезок MD в точке E, а прямая PT пересекает продолжение BC в точке Q. Применим дважды теорему Менелая: 
Отсюда 
а значит, 
поскольку D — середина BC. Далее, 
отсюда 
Это и требовалось доказать.
б) Проведём высоту AD треугольника 
Отрезок AD — высота пирамиды MPTA, опущенная из вершины A на плоскость основания MPT, а потому
Площадь треугольника MPT составляет 
Следовательно,
Найдём объём пирамиды:
Ответ: 