Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 505387
i

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равно 6, а ко­си­нус угла ASB при вер­ши­не бо­ко­вой грани равен дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби . Точка M  — се­ре­ди­на ребра SC, точка N  — се­ре­ди­на ребра AC.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BM и SA либо равен углу BMN, либо до­пол­ня­ет его до 180°.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BM и SA.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку MN || SA по тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка, угол между пря­мы­ми BM и SA равен углу между пря­мы­ми ВМ и MN. За угол между не­пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми пря­мы­ми при­ни­ма­ют мень­ший из углов, об­ра­зо­ван­ных при из пе­ре­се­че­нии. По­это­му этот угол либо равен углу  BMN, если угол BMN ост­рый, либо равен 180° −∠BMN, если угол  BMN тупой.

б)  Найдём сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка BMN. По тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка MN= дробь: чис­ли­тель: SA, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка BSM по­лу­ча­ем:

BM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 плюс 9 минус 2 умно­жить на 6 умно­жить на 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та .

Чтобы найти BN, найдём сна­ча­ла сто­ро­ну ос­но­ва­ния по тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка BSC:

BC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 36 плюс 36 минус 2 умно­жить на 6 умно­жить на 6 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 конец ар­гу­мен­та =8.

Те­перь BN=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та как вы­со­та в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке со сто­ро­ной  8. Оста­лось вы­чис­лить ко­си­нус нуж­но­го угла:

ко­си­нус \angle NMB= дробь: чис­ли­тель: 9 плюс 41 минус 48, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 3 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

При­ме­ча­ние Анны Моч­ки­ной (Санкт-Пе­тер­бург).

По­ка­зав в пунк­те б) что ко­си­нус угла BMN по­ло­жи­тель­ный, можно сде­лать вывод о том, что угол BMN ост­рый. Тогда из пунк­та а) сле­ду­ет окон­ча­тель­ный вывод: угол между пря­мы­ми BM и SA равен углу BMN.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 505387: 505408 511402 Все

Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь
Анна Мочкина 18.04.2022 22:37

Для до­ка­за­тель­ства того, что угол между пря­мы­ми равен углу BMN в пунк­те а) не­об­хо­ди­мо знать или до­ка­зать, что угол ВМN - не тупой. А иначе, угол буде равен 180 гра­ду­сов минус угол BMN. Ко­си­нус этого угла ищут в пунк­те б). По­это­му надо в усло­вии в пунк­те а) по­про­сить до­ка­зать что угол между пря­мы­ми ВМ и SA равен углу между пря­мы­ми ВМ и MN, или из­ме­нить пункт б), а в пунк­те а) найти ко­си­нус, что и будет под­твер­жде­ни­ем того, что угол BMN ост­рый

В пунк­те б) можно, на­при­мер, найти угол между пря­мой МN и плос­ко­стью ABC.

Служба поддержки

Под­пра­ви­ли за­да­ние. Спа­си­бо!



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025