а)  Пусть K, L, M и N  — се­ре­ди­ны сто­рон AB, BC, CD и AD четырёхуголь­ни­ка ABCD со­от­вет­ствен­но. Тогда KL и MN  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и ADC. Зна­чит, и KL || AC || MN, по­это­му KLMN  — па­рал­ле­ло­грамм. Его диа­го­на­ли KM и LN делят друг друга по­по­лам, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  В тре­уголь­ни­ке KLM имеем:

Зна­чит, KL  =  9. Тогда по­это­му тре­уголь­ник KLM пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с пря­мым углом при вер­ши­не  L. Четырёхуголь­ник  KLMN  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му

От­ре­зок KL яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му Ана­ло­гич­но Тогда имеем:

где S  — ис­ко­мая пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD. Ана­ло­гич­но По­это­му

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) wladius w.

В тре­уголь­ни­ке KLM имеем:

Зна­чит, KL  =  9. Тогда по­это­му тре­уголь­ник KLM пря­мо­уголь­ный, то есть  KL || AC, LM || BD, тогда Сле­до­ва­тель­но,

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что че­ты­рех­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон про­из­воль­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, пло­щадь ко­то­ро­го равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ис­ход­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка (см. па­рал­ле­ло­грамм Ва­ри­ньо­на). При ре­ше­нии дан­ной за­да­чи фак­ти­че­ски до­ка­за­на тео­ре­ма Ва­ри­ньо­на и след­ствие из нее.