≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 505389

Дан четырёхугольник ABCD.

а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если ,

Решение.

а) Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD соответственно. Тогда KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC. Значит, и KL || AC || MN, поэтому KLMN — параллелограмм. Его диагонали KM и LN делят друг друга пополам, что и требовалось доказать.

б) В треугольнике KLM имеем:

Значит, KL = 9. Тогда поэтому треугольник KLM прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине L. Четырёхугольник KLMN — прямоугольник, поэтому

Отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому Аналогично Тогда, имеем:

Где S — искомая площадь четырёхугольника ABCD. Аналогично Поэтому

Следовательно,

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 505389: 505410 511403 Все

Спрятать решение · ·
wladius w 14.04.2017 12:00

Я хочу предложить второе решение для пункта Б) т.к. по-моему оно проще и понятнее.

Вот мы доказали, что KLM - прямоугольный, LM и KL - параллельны диагоналям, следовательно угол между этими прямыми такой же как между диагоналями. Значит угол между диагоналями ABCD 90 градусов. Есть формула для нахождения площади любого четырехугольника по двум диагоналям и углу между ними. Ответ получается такой же, но писанины меньше, да и понятнее - просто нужно еще одну формулу знать. Может кому-нибудь пригодится