Дан выпуклый четырёхугольник ABCD.
а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если 
а) Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD соответственно. Тогда KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC. Значит,
и KL || AC || MN, поэтому KLMN — параллелограмм. Его диагонали KM и LN делят друг друга пополам, что и требовалось доказать.
б) В треугольнике KLM имеем:
Значит, KL = 9. Тогда 
поэтому треугольник KLM прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине L. Четырёхугольник KLMN — прямоугольник, поэтому
Отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому 
Аналогично 
Тогда имеем:
где S — искомая площадь четырёхугольника ABCD. Аналогично 
Поэтому
Следовательно,
Ответ: 
Приведем решение пункта б) wladius w.
В треугольнике KLM имеем:
Значит, KL = 9. Тогда поэтому треугольник KLM прямоугольный, то есть 
KL || AC, LM || BD, тогда 
Следовательно,
Примечание.
Заметим, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника (см. параллелограмм Вариньона). При решении данной задачи фактически доказана теорема Вариньона и следствие из нее.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дан четырёхугольник 
а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если 
а) Пусть
и N — середины сторон 
и AD четырёхугольника ABCD соответственно. Тогда KL и 
Значит, и 
поэтому KLMN — параллелограмм. Его диагонали KM и LN делят друг друга пополам, что и требовалось доказать.
б) В треугольнике KLM имеем:
Значит, 
Тогда поэтому треугольник KLM прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине 
Четырёхугольник
Отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому Аналогично Тогда, имеем:
Где S — искомая площадь четырёхугольника Аналогично Поэтому
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дан четырёхугольник ABCD.
а) Докажите, что отрезки LN и KM, соединяющие середины его противоположных сторон, делят друг друга пополам.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если 
а) Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD четырёхугольника ABCD соответственно. Тогда KL и MN — средние линии треугольников ABC и ADC. Значит,
и KL || AC || MN, поэтому KLMN — параллелограмм. Его диагонали KM и LN делят друг друга пополам, что и требовалось доказать.
б) В треугольнике KLM имеем:
Значит, 
Тогда KM2 = KL2 + LM2, поэтому треугольник KLM прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине L. Четырёхугольник KLMN — прямоугольник, поэтому
Пусть искомая площадь четырёхугольника ABCD равна S. Отрезок KL является средней линией треугольника ABC, поэтому Аналогично Тогда, имеем:
где S — искомая площадь четырёхугольника ABCD. Аналогично Поэтому
Следовательно,
Ответ: 
Приведем решение пункта б) Руслана Морозова.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними:
где α — угол между диагоналями AC и BD. Прямые AC и KL, а также BD и LM попарно параллельны, поэтому 
В треугольнике KLM имеем:
Значит,
Тогда 
поэтому треугольник KLM прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине L. Следовательно, угол α прямой, откуда
Примечание.
Заметим, что при решении пункта а) доказана теорема Вариньона: середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Данную теорему можно использовать без доказательства, поскольку она предложена как задача для самостоятельного решения в учебнике геометрии для 7-9 классов (Л. А.Атанасян, В. Ф.Бутузов, С. Б.Кадомцев и др.)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх