Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 507578

Найдите все значения a, при каждом из которых график функции

f(x)=x в степени 2 минус 3x плюс 2 минус |x в степени 2 минус 5x плюс 4| минус a

пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим вспомогательную функцию g(x)=x в степени 2 минус 3x плюс 2 минус |x в степени 2 минус 5x плюс 4|.

График функции f(x) пересекает ось абсцисс в двух или менее точках, если уравнение g(x)=a имеет менее трех различных корней.

Если x\leqslant 1 или x\geqslant4, то |x в степени 2 минус 5x плюс 4|=x в степени 2 минус 5x плюс 4, и g(x)=2x минус 2.

Если 1 меньше x меньше 4, то |x в степени 2 минус 5x плюс 4|= минус x в степени 2 плюс 5x минус 4, и g(x)=2x в степени 2 минус 8x плюс 6.

График функции g(x) состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение g(x)=a имеет менее трех корней, только если a\leqslant g(2) или a\geqslant g(1), то есть при a\leqslant минус 2 или a\geqslant 0.

 

Ответ: ( минус принадлежит fty, минус 2]\cup [0, плюс принадлежит fty).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
В представленном решении обоснованно получен верный ответ4
Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован: например, не указано явно необходимое и достаточное условие существования корня или то, что функция принимает все значения из промежутка, или решение содержит вычислительную ошибку3
Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, в результате чего получена часть верного ответа (возможно, другие случаи не рассмотрены или при их рассмотрении допущены ошибки)2
Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, но не найдена никакая часть верного ответа.1
Решение не содержит ни одного верно рассмотренного случая раскрытия модуля0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 507578: 507709 511443 Все