ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 17 № 507578 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых график функции

$f(x)=x в степени 2 минус 3x плюс 2 минус |x в степени 2 минус 5x плюс 4| минус a$

пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим вспомогательную функцию $g(x)=x в степени 2 минус 3x плюс 2 минус |x в степени 2 минус 5x плюс 4|.$

График функции $f(x)$ пересекает ось абсцисс в двух или менее точках, если уравнение $g(x)=a$ имеет менее трех различных корней.

Если $x\leqslant 1$ или $x\geqslant4,$ то $|x в степени 2 минус 5x плюс 4|=x в степени 2 минус 5x плюс 4,$ и $g(x)=2x минус 2.$

Если $1 меньше x меньше 4,$ то $|x в степени 2 минус 5x плюс 4|= минус x в степени 2 плюс 5x минус 4,$ и $g(x)=2x в степени 2 минус 8x плюс 6.$

График функции $g(x)$ состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение $g(x)=a$ имеет менее трех корней, только если $a\leqslant g(2)$ или $a\geqslant g(1),$ то есть при $a\leqslant минус 2$ или $a\geqslant 0.$

Ответ: $( минус принадлежит fty, минус 2]\cup [0, плюс принадлежит fty).$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
В представленном решении обоснованно получен верный ответ	4
Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован: например, не указано явно необходимое и достаточное условие существования корня или то, что функция принимает все значения из промежутка, или решение содержит вычислительную ошибку	3
Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, в результате чего получена часть верного ответа (возможно, другие случаи не рассмотрены или при их рассмотрении допущены ошибки)	2
Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, но не найдена никакая часть верного ответа.	1
Решение не содержит ни одного верно рассмотренного случая раскрытия модуля	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 507578: 507709 511443 Все

Классификатор алгебры: Кусочное построение графика функции

Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь