Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 511443

Найдите все значение a, при каждом из которых график функции

f(x)=x в степени 2 минус 3x плюс 2 минус |x в степени 2 минус 5x плюс 4| плюс 2a

пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим вспомогательную функцию g(x)=x в степени 2 минус 3x плюс 2 минус |x в степени 2 минус 5x плюс 4|.

График функции f(x) пересекает ось абсцисс в двух или менее точках, если уравнение g(x)= минус 2a имеет менее трех различных корней.

Если x\leqslant 1 или x\geqslant4, то |x в степени 2 минус 5x плюс 4|=x в степени 2 минус 5x плюс 4, и g(x)=2x минус 2.

Если 1 меньше x меньше 4, то |x в степени 2 минус 5x плюс 4|= минус x в степени 2 плюс 5x минус 4, и g(x)=2x в степени 2 минус 8x плюс 6.

График функции g(x) состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке видно, что уравнение g(x)= минус 2a имеет менее трех корней, только если  минус 2a\leqslant g(2) или  минус 2a\geqslant g(1). Заметив, что g(2)= минус 2;g(1)=0, получаем ответ: a \geqslant 1 или a \leqslant 0.

 

Ответ: a \leqslant 0,a \geqslant 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
В представленном решении обоснованно получен верный ответ4
Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован: например, не указано явно необходимое и достаточное условие существования корня или то, что функция принимает все значения из промежутка, или решение содержит вычислительную ошибку3
Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, в результате чего получена часть верного ответа (возможно, другие случаи не рассмотрены или при их рассмотрении допущены ошибки)2
Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, но не найдена никакая часть верного ответа.1
Решение не содержит ни одного верно рассмотренного случая раскрытия модуля0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 507578: 507709 511443 Все