Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 507635

Решите неравенство  дробь: числитель: логарифм по основанию 2 (2x) умножить на логарифм по основанию (0,5x) 2, знаменатель: логарифм по основанию (0,125x) 8 конец дроби меньше или равно 1.

Спрятать решение

Решение.

Левая часть неравенства имеет смысл при x больше 0,0,5x не равно 1 и 0,125x не равно 1, то есть при x больше 0,x не равно 2 и x не равно 8. При этих условиях получаем:

 дробь: числитель: логарифм по основанию (2, знаменатель: (2x) конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 (0,5x) конец дроби ) дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию 2 (0,125x) конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: ( логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x)( логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x), знаменатель: логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: ( логарифм по основанию 2 x плюс 1)( логарифм по основанию 2 x минус 3), знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 3.

Сделаем замену y= логарифм по основанию 2 x, тогда

 дробь: числитель: (y плюс 1)(y минус 3), знаменатель: y минус 1 конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: y(y минус 5), знаменатель: y минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений  новая строка y меньше или равно 0, новая строка 1 меньше y меньше или равно 5. конец совокупности

Откуда 0 меньше x меньше или равно 1 или 2 меньше x меньше или равно 32. Из полученного набора нужно ещё исключить точку 8. Получаем ответ: (0;1]\cup(2;8)\cup(8;32].

 

Ответ: (0;1]\cup(2;8)\cup(8;32].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 507635: 507646 511459 Все

Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Tyoma Kozlov 18.01.2017 20:54

А изменение ОДЗ не происходит, когда мы к разным основаниям логарифма переходим? Точнее, я уверен, что оно изменяется, но как это отражается на решении? Я ничего не нашел, что как-то касалось бы этого в решении.

Tyoma Kozlov 18.01.2017 23:17

Я правильно понимаю, мы допускаем переход к новому основанию только потому, что новые приобретенные корни мы потом можем отсечь проверкой на ОДЗ?

А как быть, если корни теряются? Как в таком случае переходить к новому основанию?

Александр Иванов

Формула перехода к новому (положительному и не равному единице) основанию, верна всегда.

Поэтому в задачах удобно переходить к десятичным логарифмам, натуральным логарифмам, логарифмам по основанию 2.

 логарифм по основанию b a= дробь: числитель: логарифм по основанию 2 a, знаменатель: логарифм по основанию 2 b конец дроби = дробь: числитель: \lg a, знаменатель: \lg b конец дроби = дробь: числитель: \ln a, знаменатель: \ln b конец дроби

А вот переход к новому переменному основанию требует дополнительных рассуждений, и его лучше избегать