ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 507635 Добавить в вариант

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 (2x) умножить на логарифм по основанию (0,5x) 2, знаменатель: логарифм по основанию (0,125x) 8 конец дроби меньше или равно 1.$

Спрятать решение

Решение.

Левая часть неравенства имеет смысл при $x больше 0,0,5x не равно 1$ и $0,125x не равно 1,$ то есть при $x больше 0,x не равно 2$ и $x не равно 8.$ При этих условиях получаем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию (2, знаменатель: (2x) конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 (0,5x) конец дроби ) дробь: числитель: 3, знаменатель: логарифм по основанию 2 (0,125x) конец дроби меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: ( логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x)( логарифм по основанию 2 0,125 плюс логарифм по основанию 2 x), знаменатель: логарифм по основанию 2 0,5 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: ( логарифм по основанию 2 x плюс 1)( логарифм по основанию 2 x минус 3), знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус 1 конец дроби меньше или равно 3.$

Сделаем замену $y= логарифм по основанию 2 x,$ тогда

$дробь: числитель: (y плюс 1)(y минус 3), знаменатель: y минус 1 конец дроби меньше или равно 3 равносильно дробь: числитель: y(y минус 5), знаменатель: y минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка y меньше или равно 0, новая строка 1 меньше y меньше или равно 5. конец совокупности$

Откуда $0 меньше x меньше или равно 1$ или $2 меньше x меньше или равно 32.$ Из полученного набора нужно ещё исключить точку 8. Получаем ответ: $(0;1]\cup(2;8)\cup(8;32].$

Ответ: $(0;1]\cup(2;8)\cup(8;32].$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 507635: 507646 511459 Все

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

Tyoma Kozlov 18.01.2017 20:54

А изменение ОДЗ не происходит, когда мы к разным основаниям логарифма переходим? Точнее, я уверен, что оно изменяется, но как это отражается на решении? Я ничего не нашел, что как-то касалось бы этого в решении.

Tyoma Kozlov 18.01.2017 23:17

Я правильно понимаю, мы допускаем переход к новому основанию только потому, что новые приобретенные корни мы потом можем отсечь проверкой на ОДЗ?

А как быть, если корни теряются? Как в таком случае переходить к новому основанию?

Александр Иванов

Формула перехода к новому (положительному и не равному единице) основанию, верна всегда.

Поэтому в задачах удобно переходить к десятичным логарифмам, натуральным логарифмам, логарифмам по основанию 2.

$логарифм по основанию b a= дробь: числитель: логарифм по основанию 2 a, знаменатель: логарифм по основанию 2 b конец дроби = дробь: числитель: \lg a, знаменатель: \lg b конец дроби = дробь: числитель: \ln a, знаменатель: \ln b конец дроби$

А вот переход к новому переменному основанию требует дополнительных рассуждений, и его лучше избегать