Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 510737

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

x в квадрате минус |x плюс 3 плюс a| = |x минус a минус 3| минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате

имеет единственный корень.

Спрятать решение

Решение.

Если x_0 является корнем исходного уравнения, то и  минус x_0 является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если x_0= минус x_0. то есть x_0=0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:

 левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = 2 |a плюс 3| равносильно |a плюс 3| умножить на левая круглая скобка |a плюс 3| минус 2 правая круглая скобка = 0,

откуда либо |a плюс 3| = 0, a = минус 3, либо |a плюс 3| = 2, a= минус 5 или a = минус 1.

При a = минус 3 исходное уравнение принимает вид: x в квадрате = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2, 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При a= минус 5 и при a = минус 1 уравнение принимает вид: x в квадрате плюс 4=|x минус 2| плюс |x плюс 2|.

При x меньше минус 2 это уравнение сводится к уравнению x в квадрате плюс 2x плюс 4=0, которое не имеет корней.

При  минус 2 меньше или равно x меньше или равно 2 получаем уравнение x в квадрате =0, которое имеет единственный корень.

При х больше 2 получаем уравнение x в квадрате минус 2х плюс 4 = 0, которое не имеет корней.

При a = минус 5 и при a= минус 1 исходное уравнение имеет единственный корень.

 

Ответ:  минус 5, минус 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
Обоснованно получены оба значения: а, но в ответ включено не более одного постороннего значения а.3
Обоснованно получено одно из значений а.2
Получен один из следующих результатов:

- задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей;

- есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 501713: 502297 510665 501755 502317 507476 510737 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 402., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013