Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Если x0 является корнем исходного уравнения, то и 
является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если 
то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:
откуда либо 
либо 
или a = 5.
При a = 3 исходное уравнение принимает вид: x2 = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При a = 1 и при a = 5 уравнение принимает вид: 
При x < −2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.
При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x2 = 0, которое имеет единственный корень.
При x > 2 получаем уравнение 
которое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1; 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обоснованно получены оба значения а, в ответ включено не более одного постороннего значения а. | 3 |
| Обоснованно получено одно из значений а. | 2 |
| Получен один из следующих результатов: – задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; – есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Запишем уравнение в виде
Если 
является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если 
то есть 
Подставим значение 
в уравнение:
откуда либо 
либо 
или 
При 
уравнение принимает вид 
Корнями этого уравнения являются числа 
и 
то есть уравнение имеет ровно три корня.
При 
и при 
уравнение принимает вид 
При 
это уравнение сводится к уравнению 
которое не имеет корней.
При 
получаем уравнение 
которое имеет единственный корень.
При 
получаем уравнение 
которое не имеет корней.
Таким образом, при и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обоснованно получены оба значения а, в ответ включено не более одного постороннего значения а. | 3 |
| Обоснованно получено одно из значений а. | 2 |
| Получен один из следующих результатов: – задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; – есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Запишем уравнение в виде
Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если 
то есть 
Подставим значение в уравнение:
откуда либо 
либо 
или 
При 
уравнение принимает вид Корнями этого уравнения являются числа и то есть уравнение имеет ровно три корня.
При 
и при 
уравнение принимает вид
При 
это уравнение сводится к уравнению которое не имеет корней.
При получаем уравнение которое имеет единственный корень.
При получаем уравнение которое не имеет корней.
Таким образом, при и при исходное уравнение имеет единственный корень x = 0.
Ответ: 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Обоснованно получены оба значения а, в ответ включено не более одного постороннего значения а. | 3 |
| Обоснованно получено одно из значений а. | 2 |
| Получен один из следующих результатов: – задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; – есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и Найти все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Если x0 является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:
откуда либо 
либо 
или 
При 
исходное уравнение принимает вид: x2 = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При 
и при 
уравнение принимает вид: x2 + 4 = |x − 2| + |x + 2|.
При x < − 2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.
При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x2 = 0, которое имеет единственный корень.
При x > 2 получаем уравнение x2 − 2x + 4 = 0, которое не имеет корней. При и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: −9; −5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если 
то есть 
Подставим значение 
в исходное уравнение:
откуда либо 
либо 
или 
При 
исходное уравнение принимает вид: 
Корнями этого уравнения являются числа 
и то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При 
и при уравнение принимает вид: 
При 
это уравнение сводится к уравнению 
которое не имеет корней.
При 
получаем уравнение 
которое имеет единственный корень.
При 
получаем уравнение 
которое не имеет корней.
При 
и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
Обоснованно получены оба значения:  но в ответ включено не более одного постороннего значения  | 3 |
| Обоснованно получено одно из значений | 2 |
| Получен один из следующих результатов: - задача верно сведена к исследованию квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей; - есть утверждение о симметрии корней исходного уравнения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если то есть Подставим значение в исходное уравнение:
откуда либо либо или
При исходное уравнение принимает вид: Корнями этого уравнения являются числа и то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При и при уравнение принимает вид:
При это уравнение сводится к уравнению которое не имеет корней.
При получаем уравнение которое имеет единственный корень.
При получаем уравнение которое не имеет корней.
При и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Запишем уравнение в виде
Если является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если то есть Подставим значение в уравнение:
откуда либо 
либо или
При уравнение принимает вид Корнями этого уравнения являются числа и то есть уравнение имеет ровно три корня.
При и при уравнение принимает вид
При это уравнение сводится к уравнению которое не имеет корней.
При получаем уравнение которое имеет единственный корень.
При получаем уравнение которое не имеет корней.
Таким образом, при и при исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: и
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Обоснованно получены все значения: Ответ отличается от верного только исключением точки и/или включением точки | 3 |
| Обоснованно получены все значения: | 2 |
| Верно найдено одно или два из значений | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных вышe | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет единственное решение.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Если x0 является корнем исходного уравнения, то и является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:
откуда либо либо или a = 5.
При a = 3 исходное уравнение принимает вид: x2 = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.
При a = 1 и при a = 5 уравнение принимает вид:
При x < −2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.
При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x2 = 0, которое имеет единственный корень.
При x > 2 получаем уравнение которое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 1; 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх