Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 511111

Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x = 8y − 29.

а) Может ли  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби быть равным 170?

б) Может ли  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби быть равным 2?

в) Найдите наименьшее значение  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Для чисел x = 17 и y = 10 выполняется условие 3x = 8y −29, q = 170, d = 1,  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =170.

б) и в) При x = 1 и y = 4 выполняется равенство 3x = 8y − 29 и  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =4. Покажем, что никакое значение  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби меньше 4 не реализуется.

Если x = y, то x=y= дробь: числитель: 29, знаменатель: 5 конец дроби , что невозможно, поскольку числа x и y — натуральные. Пусть x = ad, a y = bd. Тогда натуральные числа a и b взаимно просты. Получаем q= дробь: числитель: xy, знаменатель: d конец дроби =abd, откуда  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби = ab.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби = 1, то a = b, что невозможно.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби = 2, то a = 1, b = 2 и, значит, y = 2x, откуда x= дробь: числитель: 29, знаменатель: 13 конец дроби , что невозможно, или a = 2, b = 1 и, значит, x = 2y, откуда y= дробь: числитель: 29, знаменатель: 2 конец дроби , что также невозможно.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби = 3, то a = 1, b = 3 и, значит, y = 3x, откуда x= дробь: числитель: 29, знаменатель: 21 конец дроби , что невозможно, или a = 3, b = 1 и, значит, x = 3y, откуда y= минус 29, что также невозможно.

 

Ответ: а) да; б) нет) в) 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 511111: 519815 519834 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства