Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
Тип 18 № 519815 
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 
а) Может ли 
быть равным 204?
б) Может ли быть равным 2?
в) Найдите наименьшее значение 
и 
выполняется условие 
и 
выполняется равенство 
и 
Покажем, что никакое значение 
меньшее 5, не реализуется. Действительно, пусть 
а 
где a и b — натуральные числа с наибольшим общим делителем 1. Тогда 
и 
Рассмотрим четыре возможности.
то 
что невозможно, поскольку x и y — натуральные числа.
то возможны два случая:
то есть 
откуда 
что невозможно.
то есть 
откуда 
что невозможно.
то возможны два случая:
то есть 
откуда 
что невозможно.
откуда 
что невозможно.
то возможны два случая:
то есть 
откуда 
что невозможно.
откуда 
что невозможно.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства
2
Тип 18 № 519834
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель
натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 
а) Может ли быть равным 170?
б) Может ли быть равным 2?
в) Найдите наименьшее значение
выполняется условие 
выполняется равенство 
и 
что невозможно, поскольку x и y — натуральные числа.
что невозможно.
что невозможно.
что невозможно.
что невозможно.Классификатор алгебры: Числа и их свойства
По признакам делимости получаем, что y может принимать значения: 5, 12, 19, 26, 33, ...
В свою очередь x может принимать значения: 1, 17, 33, 49, 65, ...
Так как все пары взаимно просты, то без труда находится пара, для которой НОК(x,y)=204 и находится минимальный НОК.
Можете написать решение?
Решение задания № 519815 по просьбе службы поддержки
q=НОК(x;y)
d=НОД(x;y)
7x=16y-73
Выразим x и y, учитывая что x,y∈N
x=(16y-73)/7 и y=(7x+73)/16
17y-73≡0(mod 7) 7x+73≡0(mod 16)
9y≡45(mod 7) 7x≡7(mod 16)
y≡5(mod 7) x≡1(mod 16)
x=1;17;33;49;65;…
y=5;12;19;26; 33;…
d=НОД(x;y)=1
q=НОК(x;y)=xy
а) q/d=204 {17•12=204}
б) q/d=2 нет.
{Минимальные значения x=1 и y=5 минимальное значение q/d=5}
в) q/d=1•5=5
Ответ: а) да б) нет в) 5
Можете показать, что все пары решений взаимно просты?
Очевидные вещи спрашиваете.
Найдём НОД((5+7n);(1+16n)) с помощью алгоритма Эвклида:
1) (5+7n):(1+16n)=7/16 (ост 73/16)
2) (1+16n):(73/16)=256/73 n (ост 1)
3) (73/16):(1)=73/16 (ост 0)
4) НОД((5+7n);(1+16n))=1
Такое доказательство — неотъемлемая часть решения, ее нельзя пропускать. Запись с дробями — не алгоритм Евклида (через Е обычно пишется). Последнее: вывод неправильный. Если вместо n подставить 114 (взять 114-е члены последовательностей решений), то НОД(5+7n, 1+16n) будет не 1, а 73.
Действительно, при некоторых n выражения не взаимно простые. Точнее, НОД=73 повторяется при n=41+73k. Это влияет на решение?
Запись алгоритма Евклида для вычисления НОД((5+7n);(1+16n)):
НОД((16n+1);(7n+5))
(16n+1)-(7n+5)=(9n-4)
(9n-4)-(7n+5)=(2n-9)
(7n+5)-(2n-9)=(5n+14)
(5n+14)-(2n-9)=(3n+23)
(3n+23)-(2n-9)=(n+32)
(2n-9)-(n+32)=(n-41)
(n+32)-(n-41)=73
Поэтому (n-41)⋮73, если n=41+73k,где k=1,2,3,… и (n-41)∤73, если n≠41+73k, где k=1,2,3,…
То есть
НОД((16n+1);(7n+5) )=73, если n=41+73k, где k=1,2,3,...
НОД((16n+1);(7n+5) )=1, если n≠41+73k, где k=1,2,3,...
Других общих делителей нет.
Ошибка при поиске общего делителя сейчас исправлена, но пробел со взаимной простотой чисел, упомянутый в решении, не устранен. Более того, утверждение оказалось неверным. Ошибка в решении влияет на решение тем, что пока ошибка есть, решения нет.
Наш случай находится до первых двух чисел, не являющихся взаимно простыми. Достаточно на это указать.
Вот это место «числа х и y взаимно простые, поэтому d=1, q=xy, q/d=xy» неверно. Можете исправить, аккуратно дописав необходимый фрагмент решения?