Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519834

Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель

натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x=8y минус 29.

а) Может ли  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби быть равным 170?

б) Может ли  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби быть равным 2?

в) Найдите наименьшее значение  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Для чисел x=17 и y=10 выполняется условие 3x=8y–29, q = 170, d=1, дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =170.

б) и в) При x=1 и y=4 выполняется равенство 3x=8y–29 и  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =4.

Покажем, что никакое значение  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби , меньшее 4, не реализуется.

Пусть x = ad, а y = bd, где a и b — натуральные числа с наибольшим общим делителем 1.

Тогда q= дробь: числитель: xy, знаменатель: d конец дроби =abd и  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =ab.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =1, то a = b, x=y= дробь: числитель: 29, знаменатель: 5 конец дроби что невозможно, поскольку x и y — натуральные числа.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =2, то возможны два случая:

1) a = 1, b = 2, то есть y = 2x, откуда x= дробь: числитель: 29, знаменатель: 13 конец дроби , что невозможно.

2) a = 2, b = 1, то есть x = 2y, откуда y= дробь: числитель: 29, знаменатель: 2 конец дроби , что невозможно.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =3, то возможны два случая:

1) a = 1, b = 3, то есть y = 3x, откуда x= дробь: числитель: 29, знаменатель: 21 конец дроби , что невозможно.

2) a = 3, b = 1, то есть x = 3y, откуда y= минус 29, что невозможно.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 511111: 519815 519834 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства