Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 
а) Может ли 
быть равным 204?
б) Может ли быть равным 2?
в) Найдите наименьшее значение 
а) Для чисел 
и 
выполняется условие 
б, в) При 
и 
выполняется равенство 
и 
Покажем, что никакое значение 
меньшее 5, не реализуется. Действительно, пусть 
а 
где a и b — натуральные числа с наибольшим общим делителем 1. Тогда 
и 
Рассмотрим четыре возможности.
Если 
то 
что невозможно, поскольку x и y — натуральные числа.
Если 
то возможны два случая:
а) 
то есть 
откуда 
что невозможно.
б) 
то есть 
откуда 
что невозможно.
Если 
то возможны два случая:
а) 
то есть 
откуда 
что невозможно.
б) 
то есть 
откуда 
что невозможно.
Если 
то возможны два случая:
а) 
то есть 
откуда 
что невозможно.
б) 
то есть 
откуда 
что невозможно.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
Приведем решение Сергея Николаева для пунктов б) и в).
Запишем равенство в виде 7x − 16y = 73. Если d = НОД(x, y), то левая часть делится на d, тогда и правая часть должна делиться на d. Но число 73 делится только на 1 и 73, следовательно, d = 1 или d = 73.
Пусть d = 1, тогда q = xy.
Умножив обе части исходного равенства на y, получим:
Правая часть отрицательна при y ≤ 4.
Следовательно, y ≥ 5, тогда q ≥ 5 и 
Пусть d = 73, тогда x = 73a и y = 73b, где a и b -- взаимно простые числа. Заметим, что
Разделив исходное равенство на 73, получим 7a = 16b − 1.
При этом НОД(a, b) = 1. Подставив b = 1, 2, 3 в равенство, убедимся, что правая часть не делится на 7. При b = 4 правая часть делится на 7, и a = 9, следовательно, ab = 36. При больших значениях b получим большие значения ab.
Следовательно, отношение 
Покажем, что оно может быть равно 5. При и выполняется равенство и
Следовательно, наименьшее значение равно 5.
По признакам делимости получаем, что y может принимать значения: 5, 12, 19, 26, 33, ...
В свою очередь x может принимать значения: 1, 17, 33, 49, 65, ...
Так как все пары взаимно просты, то без труда находится пара, для которой НОК(x,y)=204 и находится минимальный НОК.
Можете написать решение?
Решение задания № 519815 по просьбе службы поддержки
q=НОК(x;y)
d=НОД(x;y)
7x=16y-73
Выразим x и y, учитывая что x,y∈N
x=(16y-73)/7 и y=(7x+73)/16
17y-73≡0(mod 7) 7x+73≡0(mod 16)
9y≡45(mod 7) 7x≡7(mod 16)
y≡5(mod 7) x≡1(mod 16)
x=1;17;33;49;65;…
y=5;12;19;26; 33;…
d=НОД(x;y)=1
q=НОК(x;y)=xy
а) q/d=204 {17•12=204}
б) q/d=2 нет.
{Минимальные значения x=1 и y=5 минимальное значение q/d=5}
в) q/d=1•5=5
Ответ: а) да б) нет в) 5
Можете показать, что все пары решений взаимно просты?
Очевидные вещи спрашиваете.
Найдём НОД((5+7n);(1+16n)) с помощью алгоритма Эвклида:
1) (5+7n):(1+16n)=7/16 (ост 73/16)
2) (1+16n):(73/16)=256/73 n (ост 1)
3) (73/16):(1)=73/16 (ост 0)
4) НОД((5+7n);(1+16n))=1
Такое доказательство — неотъемлемая часть решения, ее нельзя пропускать. Запись с дробями — не алгоритм Евклида (через Е обычно пишется). Последнее: вывод неправильный. Если вместо n подставить 114 (взять 114-е члены последовательностей решений), то НОД(5+7n, 1+16n) будет не 1, а 73.
Действительно, при некоторых n выражения не взаимно простые. Точнее, НОД=73 повторяется при n=41+73k. Это влияет на решение?
Запись алгоритма Евклида для вычисления НОД((5+7n);(1+16n)):
НОД((16n+1);(7n+5))
(16n+1)-(7n+5)=(9n-4)
(9n-4)-(7n+5)=(2n-9)
(7n+5)-(2n-9)=(5n+14)
(5n+14)-(2n-9)=(3n+23)
(3n+23)-(2n-9)=(n+32)
(2n-9)-(n+32)=(n-41)
(n+32)-(n-41)=73
Поэтому (n-41)⋮73, если n=41+73k,где k=1,2,3,… и (n-41)∤73, если n≠41+73k, где k=1,2,3,…
То есть
НОД((16n+1);(7n+5) )=73, если n=41+73k, где k=1,2,3,...
НОД((16n+1);(7n+5) )=1, если n≠41+73k, где k=1,2,3,...
Других общих делителей нет.
Ошибка при поиске общего делителя сейчас исправлена, но пробел со взаимной простотой чисел, упомянутый в решении, не устранен. Более того, утверждение оказалось неверным. Ошибка в решении влияет на решение тем, что пока ошибка есть, решения нет.
Наш случай находится до первых двух чисел, не являющихся взаимно простыми. Достаточно на это указать.
Вот это место «числа х и y взаимно простые, поэтому d=1, q=xy, q/d=xy» неверно. Можете исправить, аккуратно дописав необходимый фрагмент решения?