Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 519815

Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 7x=16y минус 73.

а) Может ли  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби быть равным 204?

б) Может ли  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби быть равным 2?

в) Найдите наименьшее значение  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Для чисел x=17 и y=12 выполняется условие 7x=16y–73, q = 204, d=1, дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =204.

б, в) При x=1 и y=5 выполняется равенство 7x=16y минус 73 и  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =5. Покажем, что никакое значение  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби , меньшее 5, не реализуется. Действительно, пусть x = ad, а y = bd, где a и b — натуральные числа с наибольшим общим делителем 1. Тогда q= дробь: числитель: xy, знаменатель: d конец дроби =abd и  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =ab. Рассмотрим четыре возможности.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =1, то a = b, x=y= дробь: числитель: 73, знаменатель: 9 конец дроби что невозможно, поскольку x и y — натуральные числа.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =2, то возможны два случая:

     а) a = 1, b = 2, то есть y = 2x, откуда x= дробь: числитель: 73, знаменатель: 25 конец дроби , что невозможно.

     б) a = 2, b = 1, то есть x = 2y, откуда y= дробь: числитель: 73, знаменатель: 2 конец дроби , что невозможно.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =3, то возможны два случая:

     а) a = 1, b = 3, то есть y = 3x, откуда x= дробь: числитель: 73, знаменатель: 41 конец дроби , что невозможно.

     б) a = 3, b = 1, то есть x = 3y, откуда y= минус дробь: числитель: 73, знаменатель: 5 конец дроби , что невозможно.

Если  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =4, то возможны два случая:

     а) a = 1, b = 4, то есть y = 4x, откуда x= дробь: числитель: 73, знаменатель: 57 конец дроби , что невозможно.

     б) a = 4, b = 1, то есть x = 4y, откуда y= минус дробь: числитель: 73, знаменатель: 12 конец дроби что невозможно.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

 

Приведем решение Сергея Николаева для пунктов б) и в).

Запишем равенство в виде 7x − 16y = 73. Если d = НОД(x, y), то левая часть делится на d, тогда и правая часть должна делиться на d. Но число 73 делится только на 1 и 73, следовательно, d = 1 или  d = 73.

Пусть d = 1, тогда q = xy.

Умножив обе части исходного равенства на xy, получим:

7xy=16y в квадрате минус 73y равносильно 7xy=y(16y минус 73).

Правая часть отрицательна при y ≤ 4.

Следовательно, y ≥ 5, тогда q ≥ 5 и  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби = дробь: числитель: q, знаменатель: 1 конец дроби больше или равно 5.

Пусть d = 73, тогда x = 73a и y = 73b, где a и b -- взаимно простые числа. Заметим, что

q= дробь: числитель: xy, знаменатель: 73 конец дроби равносильно дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби = дробь: числитель: xy, знаменатель: 73 в квадрате конец дроби =ab.

Разделив исходное равенство на 73, получим 7a = 16b − 1.

При этом НОД(a, b) = 1. Подставив b = 1, 2, 3 в равенство, убедимся, что правая часть не делится на 7. При b = 4 правая часть делится на 7, и a = 9, следовательно, ab = 36. При больших значениях b получим большие значения ab.

Следовательно, отношение  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби больше или равно 5.

Покажем, что оно может быть равно 5. При x=1 и y=5 выполняется равенство 7x=16y минус 73 и  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби =5.

Следовательно, наименьшее значение  дробь: числитель: q, знаменатель: d конец дроби равно 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Классификатор алгебры: Числа и их свойства
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Иван Гладких 30.04.2019 21:49

По признакам делимости получаем, что y может принимать значения: 5, 12, 19, 26, 33, ...

В свою очередь x может принимать значения: 1, 17, 33, 49, 65, ...

Так как все пары взаимно просты, то без труда находится пара, для которой НОК(x,y)=204 и находится минимальный НОК.

Служба поддержки

Можете написать решение?

Иван Гладких 10.08.2019 21:13

Решение задания № 519815 по просьбе службы поддержки

q=НОК(x;y)

d=НОД(x;y)

7x=16y-73

Выразим x и y, учитывая что x,y∈N

x=(16y-73)/7 и y=(7x+73)/16

17y-73≡0(mod 7) 7x+73≡0(mod 16)

9y≡45(mod 7) 7x≡7(mod 16)

y≡5(mod 7) x≡1(mod 16)

x=1;17;33;49;65;…

y=5;12;19;26; 33;…

d=НОД(x;y)=1

q=НОК(x;y)=xy

а) q/d=204 {17•12=204}

б) q/d=2 нет.

{Минимальные значения x=1 и y=5 минимальное значение q/d=5}

в) q/d=1•5=5

Ответ: а) да б) нет в) 5

Служба поддержки

Можете показать, что все пары решений взаимно просты?

Иван Гладких 22.08.2019 10:09

Очевидные вещи спрашиваете.

Найдём НОД((5+7n);(1+16n)) с помощью алгоритма Эвклида:

1) (5+7n):(1+16n)=7/16 (ост 73/16)

2) (1+16n):(73/16)=256/73 n (ост 1)

3) (73/16):(1)=73/16 (ост 0)

4) НОД((5+7n);(1+16n))=1

Служба поддержки

Такое доказательство — неотъемлемая часть решения, ее нельзя пропускать. Запись с дробями — не алгоритм Евклида (через Е обычно пишется). Последнее: вывод неправильный. Если вместо n подставить 114 (взять 114-е члены последовательностей решений), то НОД(5+7n, 1+16n) будет не 1, а 73.

Иван Гладких 23.08.2019 20:16

Действительно, при некоторых n выражения не взаимно простые. Точнее, НОД=73 повторяется при n=41+73k. Это влияет на решение?

 

Запись алгоритма Евклида для вычисления НОД((5+7n);(1+16n)):

НОД((16n+1);(7n+5))

(16n+1)-(7n+5)=(9n-4)

(9n-4)-(7n+5)=(2n-9)

(7n+5)-(2n-9)=(5n+14)

(5n+14)-(2n-9)=(3n+23)

(3n+23)-(2n-9)=(n+32)

(2n-9)-(n+32)=(n-41)

(n+32)-(n-41)=73

 

Поэтому (n-41)⋮73, если n=41+73k,где k=1,2,3,… и (n-41)∤73, если n≠41+73k, где k=1,2,3,…

То есть

НОД((16n+1);(7n+5) )=73, если n=41+73k, где k=1,2,3,...

НОД((16n+1);(7n+5) )=1, если n≠41+73k, где k=1,2,3,...

 

Других общих делителей нет.

Служба поддержки

Ошибка при поиске общего делителя сейчас исправлена, но пробел со взаимной простотой чисел, упомянутый в решении, не устранен. Более того, утверждение оказалось неверным. Ошибка в решении влияет на решение тем, что пока ошибка есть, решения нет.

Иван Гладких 26.08.2019 18:02

Наш случай находится до первых двух чисел, не являющихся взаимно простыми. Достаточно на это указать.

Служба поддержки

Вот это место «числа х и y взаимно простые, поэтому d=1, q=xy, q/d=xy» неверно. Можете исправить, аккуратно дописав необходимый фрагмент решения?