Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а бо­ко­вые рёбра 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM  — точка L. Из­вест­но, что AD=AE=LM=2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки E, D и L, про­хо­дит еще и через центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­ке ABC имеем:

дробь: чис­ли­тель: AE, зна­ме­на­тель: EB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: DC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби .

Зна­чит, DE= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BC=2, от­ре­зок DE делит ме­ди­а­ну, про­ведённую из вер­ши­ны A, в от­но­ше­нии 2:1, то есть со­дер­жит точку O. Кроме того, O  — се­ре­ди­на DE.

б)  Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AMO. В нём AO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Опу­стим из точки L пер­пен­ди­ку­ляр LK на сто­ро­ну AO. Тогда

AK= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби AO= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,KO= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби AO= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Зна­чит,

LK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LA в квад­ра­те минус AK в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 22 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,LO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: LK в квад­ра­те плюс KO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 210 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник DLE  — ис­ко­мое се­че­ние, а LO  — его вы­со­та. Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния равна дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби LO умно­жить на DE= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 210 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 210 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 505417: 505423 505450 511405 Все

Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пло­щадь се­че­ния, По­стро­е­ния в про­стран­стве, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026