ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 17 № 512886 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при которых уравнение

$дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби умножить на 7 в степени (|x|) =49 в степени (|x|) плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $7 в степени (|x|) =t,t \geqslant1.$ Если $t больше 1,$ то $|x|= логарифм по основанию 7 t равносильно x=\pm логарифм по основанию 7 t$  — два корня. Если $t=1,$ тогда $|x|=0 равносильно x=0$  — единственный корень.

Обозначим $f(t)=t в степени 2 минус дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби .$ Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение $f(t)=0$ имеет корни, из которых ровно ровно один больше 1.

Уравнение $t в степени 2 минус дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби =0$ имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби правая круглая скобка в степени 2 минус 4 умножить на дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: a в степени 2 плюс 44a плюс 84, знаменатель: (a минус 3) в степени 2 конец дроби =0 равносильно совокупность выражений a= минус 2,a= минус 42. конец совокупности .$

При $a= минус 2$ уравнение $t в степени 2 минус 2t плюс 1=0$ имеет единственный корень $t=1.$ В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень $x=0.$

При $a= минус 42$ уравнение $t в степени 2 минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 9 конец дроби =0$ имеет единственный корень $t= дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби .$ В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

Графиком функции $f(t)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение $f(t)=0$ имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

$f(1) меньше 0 равносильно 1 минус дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 2a плюс 4, знаменатель: a минус 3 конец дроби меньше 0 равносильно минус 2 меньше a меньше 3.$

Ответ: $a= минус 42, минус 2 меньше a меньше 3.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Обоснованно получены все значения: $a= минус 42,a= минус 2,a=3.$ Ответ отличается от верного только включением точек $a=3.$	3
Обоснованно получено одно, два или три из значений $a= минус 42,a= минус 2$ или $a=3.$	2
Задача верно сведена к исследованию квадратного уравнения, но решение не завершено или получен неверный ответ.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0