ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 512886 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при которых уравнение

$дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби умножить на 7 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка =49 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби$

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $7 в степени левая круглая скобка |x| правая круглая скобка =t,t \geqslant1.$ Если $t больше 1,$ то $|x|= логарифм по основанию 7 t равносильно x=\pm логарифм по основанию 7 t$   — два корня. Если $t=1,$ тогда $|x|=0 равносильно x=0$   — единственный корень.

Обозначим $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби .$ Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =0$ имеет корни, из которых ровно один больше 1, и при этом $t=1$ не является корнем.

Уравнение $t в квадрате минус дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби =0$ имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: a в квадрате плюс 44a плюс 84, знаменатель: левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =0 равносильно совокупность выражений a= минус 2,a= минус 42. конец совокупности .$

При $a= минус 2$ уравнение $t в квадрате минус 2t плюс 1=0$ имеет единственный корень $t=1.$ В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень $x=0.$

При $a= минус 42$ уравнение $t в квадрате минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 9 конец дроби =0$ имеет единственный корень $t= дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби .$ В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

Графиком функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =0$ имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

$f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка меньше 0 равносильно 1 минус дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 2a плюс 4, знаменатель: a минус 3 конец дроби меньше 0 равносильно минус 2 меньше a меньше 3.$

Ответ: $a= минус 42, минус 2 меньше a меньше 3.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Обоснованно получены все значения: $a= минус 42,a= минус 2,a=3.$ Ответ отличается от верного только включением точек $a=3.$	3
Обоснованно получено одно, два или три из значений $a= минус 42,a= минус 2$ или $a=3.$	2
Задача верно сведена к исследованию квадратного уравнения, но решение не завершено или получен неверный ответ.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 512886: 512892 Все

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 801

Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Ирина К 05.02.2018 18:01

Уважаемые эксперты, перепроверьте решение и ответ... при а=0 нет корней и при а=-1.5 четыре корня

Александр Иванов

Уважаемая Ирина К. Перепроверили. У нас верно.

При $a=0$ два корня: $x=\pm логарифм по основанию левая круглая скобка 49 правая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби$

При $a= минус 1,5$ два корня: $x=\pm логарифм по основанию левая круглая скобка 7 правая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$