Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 512886

Найдите все значения a, при которых уравнение

 дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби умножить на 7 в степени (|x|) =49 в степени (|x|) плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Пусть 7 в степени (|x|) =t,t \geqslant1. Если t больше 1, то |x|= логарифм по основанию 7 t равносильно x=\pm логарифм по основанию 7 t — два корня. Если t=1, тогда |x|=0 равносильно x=0 — единственный корень.

Обозначим f(t)=t в степени 2 минус дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби . Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение f(t)=0 имеет корни, из которых ровно ровно один больше 1.

Уравнение t в степени 2 минус дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби =0 имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

 левая круглая скобка дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби правая круглая скобка в степени 2 минус 4 умножить на дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: a в степени 2 плюс 44a плюс 84, знаменатель: (a минус 3) в степени 2 конец дроби =0 равносильно совокупность выражений a= минус 2,a= минус 42. конец совокупности .

При a= минус 2 уравнение t в степени 2 минус 2t плюс 1=0 имеет единственный корень t=1. В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень x=0.

При a= минус 42 уравнение t в степени 2 минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 9 конец дроби =0 имеет единственный корень t= дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби . В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

Графиком функции f(t) является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение f(t)=0 имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

f(1) меньше 0 равносильно 1 минус дробь: числитель: 5a, знаменатель: a минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 6a плюс 7, знаменатель: a минус 3 конец дроби меньше 0 равносильно дробь: числитель: 2a плюс 4, знаменатель: a минус 3 конец дроби меньше 0 равносильно минус 2 меньше a меньше 3.

 

Ответ: a= минус 42, минус 2 меньше a меньше 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Обоснованно получены все значения: a= минус 42,a= минус 2,a=3. Ответ отличается от верного только включением точек a=3.3
Обоснованно получено одно, два или три из значений a= минус 42,a= минус 2 или a=3.2
Задача верно сведена к исследованию квадратного уравнения, но решение не завершено или получен неверный ответ.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 512886: 512892 Все

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 801.
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Ирина К 05.02.2018 18:01

Уважаемые эксперты, перепроверьте решение и ответ... при а=0 нет корней и при а=-1.5 четыре корня

Александр Иванов

Уважаемая Ирина К. Перепроверили. У нас верно.

При a=0 два корня: x=\pm логарифм по основанию 49 дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби

При a= минус 1,5 два корня: x=\pm логарифм по основанию 7 дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби