Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 512892

Найдите все значения a, при которых уравнение

 дробь: числитель: 4a, знаменатель: a минус 6 конец дроби умножить на 3 в степени (|x|) =9 в степени (|x|) плюс дробь: числитель: 3a плюс 4, знаменатель: a минус 6 конец дроби

имеет ровно два различных корня.

Спрятать решение

Решение.

Пусть 3 в степени (|x|) =t,t \geqslant1. Если t больше 1, тогда |x|= логарифм по основанию 3 t;x= логарифм по основанию 3 t и x= минус логарифм по основанию 3 t. Если t=1, тогда |x|=0;x=0.

Обозначим f(t)=t в степени 2 минус дробь: числитель: 4a, знаменатель: a минус 6 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 3a плюс 4, знаменатель: a минус 6 конец дроби . Исходное уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:

1) когда уравнение f(t)=0 имеет всего один корень и этот корень больше 1;

2) когда уравнение f(t)=0 имеет ровно два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.

Рассмотрим эти случаи:

1) Уравнение t в степени 2 минус дробь: числитель: 4a, знаменатель: a минус 6 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 3a плюс 4, знаменатель: a минус 6 конец дроби =0 имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

 левая круглая скобка дробь: числитель: 4a, знаменатель: a минус 6 конец дроби правая круглая скобка в степени 2 минус 4 умножить на дробь: числитель: 3a плюс 4, знаменатель: a минус 6 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: a в степени 2 плюс 14a плюс 24, знаменатель: (a минус 6) в степени 2 конец дроби =0 равносильно совокупность выражений a= минус 2,a= минус 12. конец совокупности .

При a= минус 2 уравнение t в степени 2 минус t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби =0 имеет единственный корень t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

При a= минус 12 уравнение t в степени 2 минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на t плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 9 конец дроби =0 имеет единственный корень t= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби . В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

 

2) Графиком функции f(t) является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение f(t)=0 имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

f(1) меньше 0;1 минус дробь: числитель: 4a, знаменатель: a минус 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 3a плюс 4, знаменатель: a минус 6 конец дроби меньше 0;

 

 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: a минус 6 конец дроби меньше 0;a больше 6.

 

Ответ: a= минус 12, a больше 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Обоснованно получены все значения: a= минус 12,a=6. Ответ отличается от верного только включением точек a=6.3
Обоснованно получено одно или два из значений a= минус 12 или a=6.2
Задача верно сведена к исследованию квадратного уравнения, но решение не завершено или получен неверный ответ.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0

Аналоги к заданию № 512886: 512892 Все

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 802.
Методы алгебры: Введение замены