а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с вер­ши­ной M вы­со­та равна 6, а бо­ко­вые рёбра равны 9.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние этой пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны сто­рон AC и BC па­рал­лель­но пря­мой MC, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Ра­ди­у­сы окруж­но­стей с цен­тра­ми O₁ и O₂ равны со­от­вет­ствен­но 2 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, ко­то­рая ка­са­ет­ся двух дан­ных и пря­мой O₁O₂, если O₁O₂  =  28.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a > b > c > d.

а)  Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  19.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  23 и a² − b² + с² − d²  =  23?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1200 и a² − b² + с² − d²  =  1200. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.