ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 512893 Добавить в вариант

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а)  Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  19.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  23 и a² − b² + с² − d²  =  23?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1200 и a² − b² + с² − d²  =  1200. Найдите количество возможных значений числа a.

Спрятать решение

Решение.

а)  Из условия получаем:

$a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате минус a минус b минус c минус d=4 равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка минус a минус b минус c минус d=4 равносильно$ $a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате минус a минус b минус c минус d=4 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка минус a минус b минус c минус d=4 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка a минус b минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =4.$

Поскольку $a плюс b плюс c плюс d=15 больше 4,$ получаем: $a=b плюс 1$ или $c=d плюс 1.$

В первом случае из равенства $левая круглая скобка c минус d минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =4$ находим $c плюс d=4$ и $c минус d минус 1=1,$ откуда получаем: $a=6,b=5,c=3$ и $d=1.$

Второй случай не реализуется, поскольку $a плюс b больше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби ,$ а $левая круглая скобка a минус b минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =4.$

б)  Из условия получаем:

$a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате =a плюс b плюс c плюс d равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =a плюс b плюс c плюс d равносильно$ $a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате =a плюс b плюс c плюс d равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =a плюс b плюс c плюс d равносильно$

Поскольку $a больше b,$ получаем, что $a больше или равно b плюс 1,$ то есть $a минус b минус 1 \geqslant0,a плюс b больше 0.$ Аналогично $c минус d минус 1\geqslant0,c плюс d больше 0,$ последнее равенство выполняется только при $a=b плюс 1$ и $c=d плюс 1.$ Значит, $2b плюс 2d плюс 2=23,$ что невозможно.

в)  Из равенства $a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате =a плюс b плюс c плюс d$ получаем: $a=b плюс 1,c=d плюс 1.$ Значит, $2a плюс 2d=1200,d=600 минус a.$ Получаем четвёрку чисел $левая круглая скобка a,b,c,d правая круглая скобка = левая круглая скобка a,a минус 1,601 минус a,600 минус a правая круглая скобка .$ Поскольку $b больше c,$ получаем: $a больше 301.$ Кроме того, $d больше 0,$ откуда $a меньше 600.$

Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.

Ответ: а)  a  =  6, b  =  5, c  =  3, d  =  1; б)  нет; в)  298.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 512887: 512893 672515 Все

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 802

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь