ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 512887 Добавить в вариант

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а)  Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d  =  15 и a² − b² + с² − d²  =  27.

б)  Может ли быть a + b + с + d  =  19 и a² − b² + с² − d²  =  19?

в)  Пусть a + b + с + d  =  1000 и a² − b² + с² − d²  =  1000. Найдите количество возможных значений числа a.

Спрятать решение

Решение.

а)  Из условия получаем:

$a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате минус a минус b минус c минус d=12 равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка минус a минус b минус c минус d=12 равносильно$ $a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате минус a минус b минус c минус d=12 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка минус a минус b минус c минус d=12 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка a минус b минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =12.$

Поскольку $a плюс b плюс c плюс d=15 больше 12,$ получаем: $a=b плюс 1$ или $c=d плюс 1.$

В первом случае из равенства $левая круглая скобка c минус d минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =12,$ учитывая, что $c минус d минус 1 меньше c плюс d меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби$ и числа $с плюс d$ и $c минус d минус 1$ имеют разную чётность, находим $c плюс d=4,c минус d минус 1=3,$ чего не может быть.

Во втором случае из неравенства $левая круглая скобка a минус b минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =12,$ учитывая, что $a плюс b больше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби ,$ находим $a плюс b=12,a минус b минус 1=1,$ откуда получаем: $a=7,b=5,c=2,d=1.$

б)  Из условия получаем:

$a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате =a плюс b плюс c плюс d равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =a плюс b плюс c плюс d равносильно$ $a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате =a плюс b плюс c плюс d равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка c минус d правая круглая скобка левая круглая скобка c плюс d правая круглая скобка =a плюс b плюс c плюс d равносильно$

Поскольку $a больше b,$ получаем, что $a больше или равно b плюс 1,$ то есть $a минус b минус 1 \geqslant0,a плюс b больше 0.$ Аналогично $c минус d минус 1\geqslant0,c плюс d больше 0,$ последнее равенство выполняется только при $a=b плюс 1$ и $c=d плюс 1.$ Значит, $2b плюс 2d плюс 2=19,$ что невозможно.

в)  Из равенства $a в квадрате минус b в квадрате плюс c в квадрате минус d в квадрате =a плюс b плюс c плюс d$ получаем: $a=b плюс 1,c=d плюс 1.$ Значит, $2a плюс 2d=1000;d=500 минус a.$ Получаем четвёрку чисел $левая круглая скобка a;b;c;d правая круглая скобка = левая круглая скобка a;a минус 1;501 минус a;500 минус a правая круглая скобка .$ Поскольку $b больше c,$ получаем: $a больше 251.$ Кроме того, $d больше 0,$ откуда $a меньше 500.$

Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.

Ответ: а)  a  =  7, b  =  5, c  =  2, d  =  1; б)  нет; в)  248.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 512887: 512893 672515 Все

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 801

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь