Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 512887

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2b2 + с2d2 = 27.

б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a2b2 + с2d2 = 19?

в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a2b2 + с2d2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.

Спрятать решение

Решение.

а) Из условия получаем:

a в степени 2 минус b в степени 2 плюс c в степени 2 минус d в степени 2 минус a минус b минус c минус d=12 равносильно (a минус b)(a плюс b) плюс (c минус d)(c плюс d) минус a минус b минус c минус d=12 равносильно

 равносильно (a минус b минус 1)(a плюс b) плюс (c минус d минус 1)(c плюс d)=12.

Поскольку a плюс b плюс c плюс d=15 больше 12, получаем: a=b плюс 1 или c=d плюс 1.

В первом случае из равенства (c минус d минус 1)(c плюс d)=12, учитывая, что c минус d минус 1 меньше c плюс d меньше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби и числа с плюс d и c минус d минус 1 имеют разную чётность, находим c плюс d=4,c минус d минус 1=3, чего не может быть.

Во втором случае из неравенства (a минус b минус 1)(a плюс b)=12, учитывая, что a плюс b больше дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби , находим a плюс b=12,a минус b минус 1=1, откуда получаем: a=7,b=5,c=2,d=1.

б) Из условия получаем:

a в степени 2 минус b в степени 2 плюс c в степени 2 минус d в степени 2 =a плюс b плюс c плюс d равносильно (a минус b)(a плюс b) плюс (c минус d)(c плюс d)=a плюс b плюс c плюс d равносильно

 равносильно (a минус b минус 1)(a плюс b) плюс (c минус d минус 1)(c плюс d)=0.

Поскольку a больше b, получаем, что a \geqslant b плюс 1, то есть a минус b минус 1 \geqslant0,a плюс b больше 0. Аналогично, c минус d минус 1\geqslant0,c плюс d больше 0, последнее равенство выполняется только при a=b плюс 1 и c=d плюс 1. Значит, 2b плюс 2d плюс 2=19, что невозможно.

в) Из равенства a в степени 2 минус b в степени 2 плюс c в степени 2 минус d в степени 2 =a плюс b плюс c плюс d получаем: a=b плюс 1,c=d плюс 1. Значит, 2a плюс 2d=1000;d=500 минус a. Получаем четвёрку чисел (a;b;c;d)=(a;a минус 1;501 минус a;500 минус a). Поскольку b больше c, получаем: a больше 251. Кроме того, d больше 0, откуда a меньше 500.

Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.

 

Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 512887: 512893 Все

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна. Вариант 801.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства