Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a2 − b2 + с2 − d2 = 27.
б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a2 − b2 + с2 − d2 = 19?
в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a2 − b2 + с2 − d2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Из условия получаем:
Поскольку 
получаем: 
или 
В первом случае из равенства 
учитывая, что 
и числа 
и 
имеют разную чётность, находим 
чего не может быть.
Во втором случае из неравенства 
учитывая, что 
находим 
откуда получаем: 
б) Из условия получаем:
Поскольку 
получаем, что 
то есть 
Аналогично, 
последнее равенство выполняется только при и Значит, 
что невозможно.
в) Из равенства 
получаем: 
Значит, 
Получаем четвёрку чисел 
Поскольку 
получаем: 
Кроме того, 
откуда 
Значит, a принадлежит промежутку (251; 500). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 248 значений.
Ответ: а) a = 7, b = 5, c = 2, d = 1; б) нет; в) 248.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |