Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 513281

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что CM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 DK.

б) Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 10, BC = 32 и ∠ACB = 30°.

Решение.

 

 

 

 

 

а) Достроим треугольник ABC до параллелограмма ALBC, тогда M − точка пересечения его диагоналей.

\angle LAC =180 в степени circ минус \angle ACB=\angle KCD. AL = BC = KC . AC = CD.

Тогда треугольники LAC и KCD равны по двум сторонам и углу между ними. Откуда LC = KD, а CM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 LC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 KD, что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

б) Пусть O1 — центр квадрата CKFB. Тогда MO1 — средняя линия треугольника AKB. Найдем теперь AK по теореме косинусов из треугольника ACK.

 

AK в степени 2 =AC в степени 2 плюс CK в степени 2 минус 2AC умножить на CK умножить на косинус \angle ACK=

=AC в степени 2 плюс BC в степени 2 минус 2AC умножить на BC умножить на косинус (\angle ACB плюс \angle BCK)=

=AC в степени 2 плюс BC в степени 2 минус 2AC умножить на BC умножить на косинус (120 в степени circ)=

=100 плюс 1024 плюс 320=1444=38 в степени 2 ,

 

откуда MO_1= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 38=19.

 

Очевидно, расстояние до другого центра сведется к нахождению DB, которое будет таким же.

 

Ответ:19.


Аналоги к заданию № 513281: 515784 514716 515708 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства