Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 515784

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=6,BC=10 и \angle ACB=30 градусов.

Спрятать решение

Решение.

 

 

 

 

а) Поскольку AM = MB, то MC — медиана треугольника ABC. Пусть AC = a, BC = b, \angle BCA= альфа тогда CM =  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из a в квадрате плюс b в квадрате плюс 2ab косинус альфа .

Заметим, что  косинус \angle KCD= минус косинус альфа (так как \angle KCD=360 градусов минус 2 умножить на 90 градусов минус альфа =180 минус альфа )

Тогда по теореме косинусов

KD= корень из a в квадрате плюс b в квадрате плюс 2ab косинус { альфа , то есть  дробь: числитель: KD, знаменатель: CM конец дроби = дробь: числитель: корень из a в квадрате плюс b в квадрате плюс 2ab косинус альфа , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из a в квадрате плюс b в квадрате плюс 2ab косинус альфа конец дроби =2.

 

 

 

 

 

б) Проведем к стороне AC высоты BH и MT. Имеем BH=BC синус 30 градусов=5. Тогда из подобия треугольников ABH и AMT, получаем, MT =  дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .

Пусть точка P лежит на прямой MT, PO2MP. Тогда TP =  дробь: числитель: AE, знаменатель: 2 конец дроби =3. Тогда MP =  дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3= дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби .

Заметим, что HC=BC косинус 30 градусов=5 корень из 3 , AH=5 корень из 3 минус 6, AT= дробь: числитель: 5 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби минус 3. Тогда PO_2=3 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из 3}2 минус 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: {, знаменатель: 5 конец дроби корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби . По теореме Пифагора MO_2=7. Аналогично получаем, что MO_1=7.

 

Ответ: б) 7.

 

Приведем решение пункта б) Сергея Фефелова.

Рассмотрим треугольник BCD. BC = 10, CD = AC = 6, \angle BCD=90 градусов плюс 30 градусов=120 градусов, тогда по теореме косинусов BD= корень из 10 в квадрате плюс 6 в квадрате минус 2 умножить на 6 умножить на 10 умножить на косинус 120 градусов= корень из 136 плюс 60=14.

Рассмотрим треугольник BAD. M — середина AB, O2 — середина AD, тогда MO_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на BD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14=7.

Аналогично получаем, что MO_1=7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 513281: 515784 514716 515708 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 8. (Часть C)., Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С2, C4.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Подобие