Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 515784

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что CM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 DK.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=6,BC=10 и \angle ACB=30 в степени circ.

Решение.

 

 

 

 

а) Поскольку AM = MB, то MC — медиана треугольника ABC. Пусть AC = a, BC = b, \angle BCA=\alpha тогда CM =  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс 2ab косинус \alpha}.

Заметим, что  косинус \angle KCD= минус косинус {\alpha} (так как \angle KCD=360 в степени circ минус 2 умножить на 90 в степени circ минус \alpha=180 минус \alpha)

Тогда по теореме косинусов

KD= корень из { a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс 2ab косинус {\alpha}, то есть  дробь, числитель — KD, знаменатель — CM = дробь, числитель — корень из { a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс 2ab косинус {\alpha}}, знаменатель — дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { a в степени 2 плюс b в степени 2 плюс 2ab косинус \alpha }=2.

 

 

 

 

 

 

б) Проведем к стороне AC высоты BH и MT. Имеем BH=BC синус {30 в степени circ}=5. Тогда из подобия треугольников ABH и AMT, получаем, MT =  дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 .

Пусть точка P лежит на прямой MT, PO2MP. Тогда TP =  дробь, числитель — AE, знаменатель — 2 =3. Тогда MP =  дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 плюс 3= дробь, числитель — 11, знаменатель — 2 .

Заметим, что HC=BC косинус {30 в степени circ}=5 корень из 3 , AH=5 корень из 3 минус 6, AT= дробь, числитель — 5 корень из 3 , знаменатель — 2 минус 3. Тогда PO_2=3 плюс левая круглая скобка дробь, числитель — 5 корень из { 3}}2 минус 3 правая круглая скобка = дробь, числитель — {, знаменатель — 5 корень из 3 , знаменатель — 2 . По теореме Пифагора MO_2=7. Аналогично получаем, что MO_1=7.

 

Ответ: б) 7.

 

Приведем решение пункта б) Сергея Фефелова.

Рассмотрим треугольник BCD. BC = 10, CD = AC = 6, \angle BCD=90 в степени circ плюс 30 в степени circ=120 в степени circ, тогда по теореме косинусов BD= корень из { 10 в степени 2 плюс 6 в степени 2 минус 2 умножить на 6 умножить на 10 умножить на косинус 120 в степени circ}= корень из { 136 плюс 60}=14.

Рассмотрим треугольник BAD. M — середина AB, O2 — середина AD, тогда MO_2= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на BD= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 14=7.

Аналогично получаем, что MO_1=7.


Аналоги к заданию № 513281: 515784 514716 515708 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 8. (Часть C)., Типовые тестовые задания по математике под редакцией И. В. Ященко, 2017. Задания С2, C4.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Подобие