Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514716

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что CM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 DK.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ACB = 30°.

Решение.

 

 

а) Достроим треугольник ABC до параллелограмма ALBC, тогда M − точка пересечения его диагоналей.

\angle LAC =180 в степени circ минус \angle ACB=\angle KCD. AL = BC = KC . AC = CD.

Тогда треугольники LAC и KCD равны по двум сторонам и углу между ними. Откуда LC = KD, а CM= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 LC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 KD.

 

 

 

б) Пусть O1 — центр квадрата CKFB. Тогда MO1 — средняя линия треугольника AKB. Найдем теперь AK по теореме косинусов из треугольника ACK.

AK в степени 2 =AC в степени 2 плюс CK в степени 2 минус 2AC умножить на CK умножить на косинус \angle ACK=

=AC в степени 2 плюс CB в степени 2 минус 2AC умножить на AB умножить на косинус (\angle ACB плюс \angle BCK)=

=AC в степени 2 плюс CB в степени 2 минус 2AC умножить на AB умножить на косинус (120 в степени o )=

=AC в степени 2 плюс CB в степени 2 плюс AC умножить на AB=36 плюс 100 плюс 60=196, откуда MO= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 14=7.

 

Заметим, что другое расстояние DB будет таким же, так треугольники AKC и BDC равны (AC = CD, BC = CK, \angle ACK= \angle ACB плюс 90 в степени \circ =\angle BCD).

 

 

Ответ: б) 7.


Аналоги к заданию № 513281: 515784 514716 515708 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства