Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 514716

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.

а) Докажите, что CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DK.

б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ACB = 30°.

Спрятать решение

Решение.

 

 

а) Достроим треугольник ABC до параллелограмма ALBC, тогда M − точка пересечения его диагоналей.

\angle LAC =180 градусов минус \angle ACB=\angle KCD. AL = BC = KC . AC = CD.

Тогда треугольники LAC и KCD равны по двум сторонам и углу между ними. Откуда LC = KD, а CM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби LC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KD.

 

 

 

б) Пусть O1 — центр квадрата CKFB. Тогда MO1 — средняя линия треугольника AKB. Найдем теперь AK по теореме косинусов из треугольника ACK.

AK в квадрате =AC в квадрате плюс CK в квадрате минус 2AC умножить на CK умножить на косинус \angle ACK=

=AC в квадрате плюс CB в квадрате минус 2AC умножить на AB умножить на косинус левая круглая скобка \angle ACB плюс \angle BCK правая круглая скобка =

=AC в квадрате плюс CB в квадрате минус 2AC умножить на AB умножить на косинус левая круглая скобка 120 в степени o правая круглая скобка =

=AC в квадрате плюс CB в квадрате плюс AC умножить на AB=36 плюс 100 плюс 60=196, откуда MO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14=7.

 

Заметим, что другое расстояние DB будет таким же, так треугольники AKC и BDC равны (AC = CD, BC = CK, \angle ACK= \angle ACB плюс 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =\angle BCD).

 

 

Ответ: б) 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 513281: 515784 514716 515708 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства