Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 513611

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?

б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?

Спрятать решение

Решение.

а) Разобьём множество {100, 101, 102, ..., 199} на два множества пятидесятиэлементных множества следующим образом:

{100, 199, 102, 197, 104, 195, ..., 148, 151},

{101; 198; 103; 196; 105, 194, ..., 149, 150}.

Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)

 

б) Заметим, сумма чисел в подмножестве, которое будет содержать число 2 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка , будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку 2 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка больше суммы всех остальных чисел:

2 плюс 4 плюс ... плюс 2 в степени левая круглая скобка 198 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 199 правая круглая скобка меньше 1 плюс 2 плюс 4 плюс ... плюс 2 в степени левая круглая скобка 198 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 199 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка минус 1 меньше 2 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка .

Следовательно, множество {2; 4; 8; ...; 2200} не является хорошим.

 

Другое объяснение.

Одно из двух подмножеств, на которое мы хотим разбить исходное множество, будет содержать число 2. Тогда сумма чисел в этом подмножестве будет кратна 2, но не кратна 4, а сумма чисел во втором подмножестве будет кратна 4. Тем самым, суммы чисел в подмножествах не равны, и исходное множество не является хорошим.

 

Третье объяснение.

Полусумма всех чисел исходного множества нечетна, а все элементы четны, поэтому на два множества с нечетной суммой исходное множество не разбить.

 

в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.

Единственное подмножество множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}, удовлетворяющее первому случаю, — это {3; 4; 5; 12}. Других вариантов нет, поскольку сумма трёх чисел, отличных от 3, 4 и 5, будет больше 12.

Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, нечетные числа 3 и 5 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.

Если 3 и 5 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 8 (что невозможно), либо разность двух других чисел равна 2. Получаем хорошие подмножества:

{3; 4; 5; 6}; {3; 5; 6; 8}; {3; 5; 8; 10}; {3; 5; 10; 12}.

Если 3 и 5 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве {4; 6; 8; 10; 12}. Получаем хорошие подмножества:

{4; 6; 8; 10}; {4; 6; 10; 12}; {6; 8; 10; 12}.

Всего найдено 8 хороших подмножеств. Других вариантов нет.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— в п. в доказано, что множество содержит не более восьми хороших чертырёхэлементных подмножеств;

— в п. в построены примеры восьми хороших четырёхэлементных подмножеств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 513611: 513630 516515 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 101
Классификатор алгебры: Числа и их свойства