Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 516515

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковым произведением чисел.

а) Является ли множество {100; 101; 102; ...; 199} хорошим?

б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2200} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11; 12}?

Спрятать решение

Решение.

а) Число 199 простое, поэтому разбить исходное множество на два подмножества с одинаковым произведением чисел невозможно: одно из произведений будет делиться на 199, другое нет.

б) Разобьём множество {2; 4; 8; ...; 2200} на два множества стоэлементных множества следующим образом:

{21, 2200, 23, 2198, ..., 299, 2102},

{22, 2199, 24, 2197, ..., 2100, 2101}.

Произведение чисел в этих двух подмножествах одинаковы и равны (2201)50, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)

 

в) Простые числа 5, 7 и 11 не могут входит в хорошие подмножества (аналогично п. а)). Поэтому хорошие четырёхэлементные множества можно составлять только из чисел 1; 3; 4; 6; 9; 12. Осуществим перебор. Непосредственной проверкой убеждаемся, что к числу 1 в пару можно взять только число 12; находим множество {1; 12; 3; 4}. Из оставшихся чисел 3; 4; 6; 9; 12 к числу 3 в пару также можно взять только число 12; находим множество {3; 12; 4; 9}. Остаются числа 4; 6; 9; 12, они не образуют хорошее множество. Других вариантов нет.

 

Ответ: а) нет; б) да; в) 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— в п. в доказано, что множество содержит не более восьми хороших чертырёхэлементных подмножеств;

— в п. в построены примеры восьми хороших четырёхэлементных подмножеств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 513611: 513630 516515 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства