Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 513630

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?

б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2100} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Спрятать решение

Решение.

а) Разобьём множество {200, 201, 202, ..., 299} на два множества пятидесятиэлементных множества следующим образом:

{200, 299, 202, 297, 204, 295, ..., 248, 251},

{201; 298; 203; 296; 205, 294, ..., 249, 250}.

Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)

 

б) Заметим, сумма чисел в подмножестве, которое будет содержать число 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка , будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка больше суммы всех остальных чисел:

2 плюс 4 плюс ... плюс 2 в степени левая круглая скобка 98 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка меньше 1 плюс 2 плюс 4 плюс ... плюс 2 в степени левая круглая скобка 98 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка минус 1 меньше 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка .

Следовательно, множество {2; 4; 8; ...; 2100} не является хорошим.

 

в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.

Подмножества множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}, удовлетворяющие первому случаю, — это {1; 2; 4; 7} и {2; 4; 5; 11}.

Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, четные числа 2 и 4 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.

Если 2 и 4 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 6, это подмножество {1; 2; 4; 5}, либо разность двух других чисел равна 2, это подмножества:

{1; 2; 4; 5}; {2; 4; 5; 7}; {2; 4; 7; 9}; {2; 4; 9; 11}.

Если 2 и 4 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве {1; 5; 7; 9; 11}. Получаем хорошие подмножества:

{1; 5; 7; 11} и {5; 7; 9; 11}.

Всего найдено 8 хороших подмножеств. Других вариантов нет.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— в п. в доказано, что множество содержит не более восьми хороших чертырёхэлементных подмножеств;

— в п. в построены примеры восьми хороших четырёхэлементных подмножеств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 513611: 513630 516515 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 2 (только часть С)
Классификатор алгебры: Числа и их свойства