а)  Разобьём мно­же­ство {100, 101, 102, ..., 199} на два мно­же­ства пя­ти­де­ся­ти­эле­мент­ных мно­же­ства сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Сумма чисел в этих двух под­мно­же­ствах оди­на­ко­ва, по­это­му ис­ход­ное мно­же­ство яв­ля­ет­ся хо­ро­шим. (Воз­мож­ны и дру­гие при­ме­ры.)

б)  За­ме­тим, сумма чисел в под­мно­же­стве, ко­то­рое будет со­дер­жать число будет боль­ше суммы чисел в дру­гом под­мно­же­стве, по­сколь­ку боль­ше суммы всех осталь­ных чисел:

Сле­до­ва­тель­но, мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2²⁰⁰} не яв­ля­ет­ся хо­ро­шим.

Дру­гое объ­яс­не­ние.

Одно из двух под­мно­жеств, на ко­то­рое мы хотим раз­бить ис­ход­ное мно­же­ство, будет со­дер­жать число 2. Тогда сумма чисел в этом под­мно­же­стве будет крат­на 2, но не крат­на 4, а сумма чисел во вто­ром под­мно­же­стве будет крат­на 4. Таким об­ра­зом, суммы чисел в под­мно­же­ствах не равны, и ис­ход­ное мно­же­ство не яв­ля­ет­ся хо­ро­шим.

Тре­тье объ­яс­не­ние.

По­лу­сум­ма всех чисел ис­ход­но­го мно­же­ства не­чет­на, а все эле­мен­ты четны, по­это­му на два мно­же­ства с не­чет­ной сум­мой ис­ход­ное мно­же­ство не раз­бить.

в)  За­ме­тим, что четырёхэле­мент­ное мно­же­ство яв­ля­ет­ся хо­ро­шим в двух слу­ча­ях: либо одно число яв­ля­ет­ся сум­мой трёх дру­гих, либо мно­же­ство со­дер­жит две пары чисел с рав­ны­ми сум­ма­ми.

Един­ствен­ное под­мно­же­ство мно­же­ства {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}, удо­вле­тво­ря­ю­щее пер­во­му слу­чаю,  — это {3; 4; 5; 12}. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет, по­сколь­ку сумма трёх чисел, от­лич­ных от 3, 4 и 5, будет боль­ше 12.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай и за­ме­тим, что если мно­же­ство со­дер­жит две пары чисел с рав­ны­ми сум­ма­ми, то сумма всех чисел чётна. Сле­до­ва­тель­но, не­чет­ные числа 3 и 5 либо од­но­вре­мен­но вхо­дят в хо­ро­шее четырёхэле­мент­ное под­мно­же­ство, либо од­но­вре­мен­но не вхо­дят в него.

Если 3 и 5 вхо­дят в под­мно­же­ство, то либо сумма двух дру­гих чисел равна 8 (что не­воз­мож­но), либо раз­ность двух дру­гих чисел равна 2. По­лу­ча­ем хо­ро­шие под­мно­же­ства:

Если 3 и 5 не вхо­дят в под­мно­же­ство, то хо­ро­шее под­мно­же­ство лежит во мно­же­стве {4; 6; 8; 10; 12}. По­лу­ча­ем хо­ро­шие под­мно­же­ства:

Всего най­де­но 8 хо­ро­ших под­мно­жеств: {3; 4; 5; 12}, {3; 4; 5; 6}; {3; 5; 6; 8}; {3; 5; 8; 10}; {3; 5; 10; 12}, {4; 6; 8; 10}; {4; 6; 10; 12}; {6; 8; 10; 12}. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  8.

а)  Разобьём мно­же­ство {200, 201, 202, ..., 299} на два пя­ти­де­ся­ти­эле­мент­ных мно­же­ства сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Сумма чисел в этих двух под­мно­же­ствах оди­на­ко­ва, по­это­му ис­ход­ное мно­же­ство яв­ля­ет­ся хо­ро­шим. (Воз­мож­ны и дру­гие при­ме­ры.)

б)  За­ме­тим, сумма чисел в под­мно­же­стве, ко­то­рое будет со­дер­жать число будет боль­ше суммы чисел в дру­гом под­мно­же­стве, по­сколь­ку боль­ше суммы всех осталь­ных чисел:

Сле­до­ва­тель­но, мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2¹⁰⁰} не яв­ля­ет­ся хо­ро­шим.

в)  За­ме­тим, что четырёхэле­мент­ное мно­же­ство яв­ля­ет­ся хо­ро­шим в двух слу­ча­ях: либо одно число яв­ля­ет­ся сум­мой трёх дру­гих, либо мно­же­ство со­дер­жит две пары чисел с рав­ны­ми сум­ма­ми.

Под­мно­же­ства мно­же­ства {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}, удо­вле­тво­ря­ю­щие пер­во­му слу­чаю,  — это {1; 2; 4; 7} и {2; 4; 5; 11}.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай и за­ме­тим, что если мно­же­ство со­дер­жит две пары чисел с рав­ны­ми сум­ма­ми, то сумма всех чисел чётна. Сле­до­ва­тель­но, чет­ные числа 2 и 4 либо од­но­вре­мен­но вхо­дят в хо­ро­шее четырёхэле­мент­ное под­мно­же­ство, либо од­но­вре­мен­но не вхо­дят в него.

Если 2 и 4 вхо­дят в под­мно­же­ство, то либо сумма двух дру­гих чисел равна 6, это под­мно­же­ство {1; 2; 4; 5}, либо раз­ность двух дру­гих чисел равна 2, это под­мно­же­ства:

Если 2 и 4 не вхо­дят в под­мно­же­ство, то хо­ро­шее под­мно­же­ство лежит во мно­же­стве {1; 5; 7; 9; 11}. По­лу­ча­ем хо­ро­шие под­мно­же­ства:

Всего най­де­но 8 хо­ро­ших под­мно­жеств. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  8.

а)  Число 199 про­стое, по­это­му раз­бить ис­ход­ное мно­же­ство на два под­мно­же­ства с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел не­воз­мож­но: одно из про­из­ве­де­ний будет де­лить­ся на 199, дру­гое нет.

б)  Разобьём мно­же­ство {2; 4; 8; ...; 2²⁰⁰} на два мно­же­ства сто­эле­мент­ных мно­же­ства сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Про­из­ве­де­ние чисел в этих двух под­мно­же­ствах оди­на­ко­вы и равны (2²⁰¹)⁵⁰, по­это­му ис­ход­ное мно­же­ство яв­ля­ет­ся хо­ро­шим. (Воз­мож­ны и дру­гие при­ме­ры.)

в)  Про­стые числа 5, 7 и 11 не могут вхо­дить в хо­ро­шие под­мно­же­ства (ана­ло­гич­но п. а). По­это­му хо­ро­шие четырёхэле­мент­ные мно­же­ства можно со­став­лять толь­ко из чисел 1; 3; 4; 6; 9; 12. Осу­ще­ствим пе­ре­бор. Не­по­сред­ствен­ной про­вер­кой убеж­да­ем­ся, что к числу 1 в пару можно взять толь­ко число 12; на­хо­дим мно­же­ство {1; 12; 3; 4}. Из остав­ших­ся чисел 3; 4; 6; 9; 12 к числу 3 в пару также можно взять толь­ко число 12; на­хо­дим мно­же­ство {3; 12; 4; 9}. Оста­ют­ся числа 4; 6; 9; 12, они не об­ра­зу­ют хо­ро­шее мно­же­ство. Дру­гих ва­ри­ан­тов нет.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  2.

а)  Да. Разобьём числа на 60 пар вида 400 + 519, 401 + 518, ..., а затем в каж­дое мно­же­ство возь­мем эле­мен­ты 30 пар. Сумма в каж­дой паре одна и та же.

б)  Нет. В этом мно­же­стве 199 не­чет­ных чисел, по­это­му сумма всех его эле­мен­тов не­чет­на и не может быть раз­би­та на две оди­на­ко­вых целых суммы.

в)  Че­ты­рех­эле­мент­ное хо­ро­шее мно­же­ство либо со­дер­жит две пары эле­мен­тов с оди­на­ко­вой сум­мой, либо со­дер­жит эле­мент, рав­ный сумме осталь­ных.

Пе­ре­чис­лим суммы по 2 эле­мен­та:

Сов­па­де­ния сумм дают мно­же­ства

Те­перь вы­пи­шем суммы трех эле­мен­тов, не пре­вос­хо­дя­щие 17:

Среди них есть еще три под­хо­дя­щих на­бо­ра. Итого таких мно­жеств 8.

Ответ: а) Да; б) нет; в) 8.