На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
а) Приведём один из возможных примеров:
1-й ход (13, 14, 7), сумма 34.
2-й ход (12, 15, 6), сумма 33.
3-й ход (11, 16, 5), сумма 32.
4-й ход (10, 17, 4), сумма 31.
5-й ход (9, 18, 3), сумма 30.
б) Допустим, удалось сделать 10 ходов. Максимальные суммы, которые могли получиться,
При этом были использованы все числа на доске, но сумма всех чисел с доски
Суммы не равны, значит, 10 ходов сделать не удастся.
в) Добавим к пяти ходам пункта а) 6-й (8, 19, 2) сумма 29. Значит, 6 ходов сделать можно. Покажем, что 7 ходов сделать нельзя. Предположим, что мы сделали 7 ходов, использовав 21 число, причем получили максимальные возможные суммы 34, 33, ..., 28. Таким образом, минимальная возможная сумма оставшихся 9 чисел должна быть
При этом максимальная возможная сумма 9 чисел из набора получается, если сложить
Таким образом, получили противоречие, 7 ходов сделать нельзя.
Ответ: а) (13, 14, 7), (12, 15, 6), (11, 16, 5), (10, 17, 4), (9, 18, 3); б) нет; в) 6.