Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 514479

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 5 ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Спрятать решение

Решение.

а) Приведём один из возможных примеров:

1-й ход (13, 14, 7), сумма 34.

2-й ход (12, 15, 6), сумма 33.

3-й ход (11, 16, 5), сумма 32.

4-й ход (10, 17, 4), сумма 31.

5-й ход (9, 18, 3), сумма 30.

 

б) Допустим, удалось сделать 10 ходов. Максимальные суммы, которые могли получиться,

25 плюс 26 плюс \ldots плюс 33 плюс 34= дробь: числитель: левая круглая скобка 25 плюс 34 правая круглая скобка умножить на 10, знаменатель: 2 конец дроби =295.
При этом были использованы все числа на доске, но сумма всех чисел с доски
1 плюс 2 плюс \ldots плюс 29 плюс 30= дробь: числитель: левая круглая скобка 1 плюс 30 правая круглая скобка умножить на 30, знаменатель: 2 конец дроби =465.
Суммы не равны, значит, 10 ходов сделать не удастся.

 

в) Добавим к пяти ходам пункта а) 6-й (8, 19, 2) сумма 29. Значит, 6 ходов сделать можно. Покажем, что 7 ходов сделать нельзя. Предположим, что мы сделали 7 ходов, использовав 21 число, причем получили максимальные возможные суммы 34, 33, ..., 28. Таким образом, минимальная возможная сумма оставшихся 9 чисел должна быть

465 минус левая круглая скобка 34 плюс \ldots плюс 28 правая круглая скобка =465 минус дробь: числитель: левая круглая скобка 34 плюс 28 правая круглая скобка умножить на 7, знаменатель: 2 конец дроби =465 минус 217=248.

При этом максимальная возможная сумма 9 чисел из набора получается, если сложить

22 плюс 23 плюс \ldots плюс 30= дробь: числитель: левая круглая скобка 22 плюс 30 правая круглая скобка умножить на 9, знаменатель: 2 конец дроби =234.

Таким образом, получили противоречие, 7 ходов сделать нельзя.

 

Ответ: а) (13, 14, 7), (12, 15, 6), (11, 16, 5), (10, 17, 4), (9, 18, 3); б) нет; в) 6.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 514479: 554421 Все

Источник: Задания 19 (С7) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Юг (C часть).
Классификатор алгебры: Числа и их свойства