Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 518910

Найдите наибольшее значение функции y=8x минус 4 тангенс x минус 2 Пи плюс 2 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

{y}'=8 минус 4 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}= дробь, числитель — 4(2{{ косинус } в степени 2 }x минус 1), знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}= дробь, числитель — 4 косинус 2x, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}.

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 система выражений  новая строка косинус 2x=0,  новая строка минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 меньше или равно 2x меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений 2x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ,  новая строка 2x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 , конец системы .  новая строка минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 меньше или равно 2x меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 ,  новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . конец совокупности .

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка и y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка . Найдем их:

y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка =8 умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус 4\operatorname{ тангенс } левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус 2 Пи плюс 2= минус дробь, числитель — 14, знаменатель — 3 Пи плюс 4 корень из { 3} плюс 2,

y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка =8 умножить на дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус 4\operatorname{ тангенс } дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус 2 Пи плюс 2= минус 2.

Заметим, что y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка больше y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка , поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно -2.

 

Ответ: -2.

Классификатор базовой части: 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции на границе отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка, Наименьшее (наибольшее) значение функции на бесконечном промежутке