ЕГЭ−2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 12 № 70769

Найдите наибольшее значение функции $y = 50x минус 25 тангенс x минус 12,5 Пи минус 8$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .$

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите наибольшее значение функции $y=14x минус 7 тангенс x минус 3,5 Пи плюс 11$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .$

Найдем производную заданной функции:

${y}'=14 минус 7 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}= дробь, числитель — 7(2{{ косинус } в степени 2 }x минус 1), знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}= дробь, числитель — 7 косинус 2x, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}.$

Найдем нули производной на заданном отрезке:

$система выражений новая строка косинус 2x=0, новая строка минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 меньше или равно 2x меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений 2x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 , новая строка 2x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 , конец системы . новая строка минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 меньше или равно 2x меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 , новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . конец совокупности .$

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел $y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка$ и $y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка .$ Найдем их:

$y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка =14 умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус 7\operatorname{ тангенс } левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 Пи плюс 11= минус дробь, числитель — 49, знаменатель — 6 Пи плюс 7 корень из { 3} плюс 11$ ,

$y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка =14 умножить на дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус 7\operatorname{ тангенс } дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 Пи плюс 11=4.$

Заметим, что $y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка больше y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка$ , поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно 4.

Ответ: 4.

Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина