Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 70765

 

Найдите наибольшее значение функции y = 86x минус 43 тангенс x минус 21,5 Пи плюс 10 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


Найдите наибольшее значение функции y=14x минус 7 тангенс x минус 3,5 Пи плюс 11 на отрезке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая квадратная скобка .

Найдем производную заданной функции:

{y}'=14 минус 7 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}= дробь, числитель — 7(2{{ косинус } в степени 2 }x минус 1), знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}= дробь, числитель — 7 косинус 2x, знаменатель — {{ косинус в степени 2 }x}.

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 система выражений  новая строка косинус 2x=0,  новая строка минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 меньше или равно 2x меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 конец системы . равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений 2x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ,  новая строка 2x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 , конец системы .  новая строка минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 меньше или равно 2x меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 ,  новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 . конец совокупности .

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка и y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка . Найдем их:

y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка =14 умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус 7\operatorname{ тангенс } левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 Пи плюс 11= минус дробь, числитель — 49, знаменатель — 6 Пи плюс 7 корень из { 3} плюс 11,

y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка =14 умножить на дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус 7\operatorname{ тангенс } дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 Пи плюс 11=4.

Заметим, что y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка больше y левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 правая круглая скобка , поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно 4.

 

Ответ: 4.