Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 520786

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Решение.

а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стягиваемые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.

б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов

 синус \alpha= дробь, числитель — AB, знаменатель — 2R = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 .

Треугольник ABC равнобедренный,поэтому \angle{BAD}=\angle{BAC} плюс \angle{CAD}=2\alpha.

Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому \angle{CDA}=\angle{BAD}=2\alpha. Значит,

\angle{ACD}=180 в степени circ минус \angle{CAD} минус \angle{CDA}=180 в степени circ минус 3α.

Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:

 дробь, числитель — AD, знаменатель — синус (180 в степени circ минус 3\alpha) = дробь, числитель — AB, знаменатель — синус {\alpha } равносильно AD= дробь, числитель — синус 3\alpha, знаменатель — синус \alpha умножить на {AB}= левая круглая скобка 3 минус 4 синус в степени 2 {\alpha} правая круглая скобка умножить на {AB}=9.

 

Приведем другое решение пункта б)

Заметим, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции. Проведем две высоты DH — из вершины D и EF — через центр окружности. Обозначим ED = x, OE = y. Тогда из треугольника EOD по теореме Пифагора имеем x в степени 2 плюс y в степени 2 =64, а из треугольника BOF: OF=2 корень из { 7}. Тогда высота трапеции DH=EF=y плюс 2 корень из { 7}, а HC = 6 – x. Напишем теорему Пифагора для треугольника DHC:

 

(6 минус x) в степени 2 плюс (y плюс 2 корень из { 7}) в степени 2 =12 в степени 2 равносильно 36 минус 12x плюс x в степени 2 плюс y в степени 2 плюс 4y корень из { 7} плюс 28=144 равносильно

 равносильно 4y корень из { 7}=16 плюс 12x равносильно y= дробь, числитель — 4 плюс 3x, знаменатель — корень из { 7 }.

Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.

 

x в степени 2 плюс дробь, числитель — (4 плюс 3x) в степени 2 , знаменатель — 7 =64 равносильно 2x в степени 2 плюс 3x минус 54=0 равносильно левая квадратная скобка \begin{array}{l}x= минус 6, x=\dfrac{9}{2}.\end{array}.

Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 9.

 

Ответ: б) 9.


Аналоги к заданию № 520848: 520786 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 401 (C часть)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2018
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Кира Тимонина 17.12.2018 00:19

Не рассматривается вариант того, что четырехугольник - ромб, хотя условие такого варианта не исключает.

Александр Иванов

Из всех ромбов окружность можно описать только около квадрата, но это противоречит числовым данным

Павел Черных 05.04.2020 02:05

У меня другое решение пункта б).

Из пункта а) мы поняли,что четырёхугольник ABCD-это равнобедренная трапеция.

Б) По теореме синусов BC/sinBAC=2R,следовательно sinBAC=BC/2R=12/16=3/4.

По основному тождеству тригонометрии.

sin^2 x+cos^2 x=1, cos^2 x=7/16, cos x=√7/4

По теореме косинусов.

BA^2=BC^2+AC^2-2×BC×AC×cosBCA.

144=144+BC^2-24ACcosBCA.

AC=6√7

По теореме Птолемея.

AC×DB=BA×CD+BC×AD.

36×7=12×12+12×AD.

AD=9