Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиусом 10. Известно, что AB = BC = CD = 6.
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги, стянутые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.
б) Хорды AB, BC и CD равны, а потому стягивают равные дуги. Значит, 
По теореме синусов для треугольника ABC находим: 
откуда
Опустим высоту BH на основание AD. Тогда
Ответ: б) 
Приведем другое решение пункта б).
б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов для треугольника ABC находим: 
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому 
Значит, 
Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому 
Значит,
По теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:
Приведем еще одно решение пункта б)
Заметим, что центр описанной окружности лежит вне трапеции. Действительно, если хорды были бы равны радиусу, то центр окружности лежал бы на стороне, как в случае правильного шестиугольника, но хорды меньше, а потому центр окружности лежит вне трапеции. (Другое рассуждение: угол при вершине в треугольнике со сторонами 10, 10 и 6 меньше 60°, поэтому сумма центральных углов меньше 180°.)
Проведем две высоты трапеции: BH, исходящую из вершины B, и параллельную ей высоту EF, проходящую через центр окружности. Обозначим AE = x, OE = y. Тогда из треугольника AOE по теореме Пифагора находим 
а из треугольника BOF получаем, что 
Тогда высота трапеции 
а
Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его:
Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 15,84.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиусом 8. Известно, что
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стягиваемые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.
б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому 
Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому Значит,
3α.
Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:
Приведем другое решение пункта б)
Заметим, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции. Действительно, если хорды были бы равны радиусу, то центр окружности лежал бы на стороне, как в случае правильного шестиугольника, но хорды больше, а потому центр окружности лежит внутри трапеции. (Другое рассуждение: угол при вершине в треугольнике со сторонами 8, 8 и 12 больше 60°, поэтому сумма центральных углов больше 180°).
Проведем две высоты: DH — из вершины D и EF — через центр окружности. Обозначим ED = x, OE = y. Тогда из треугольника EOD по теореме Пифагора имеем 
а из треугольника BOF: 
Тогда высота трапеции 
а HC = 6 – x. Запишем теорему Пифагора для треугольника DHC:
Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.
Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 9.
Ответ: б) 
Приведём решение пункта б) Павла Черных.
В пункте а) было показано, что четырёхугольник ABCD — равнобедренная трапеция. Из теоремы синусов получаем, что 
Из основного тригонометрического тождества находим:
По теореме косинусов
а потому 
Следовательно, 
По теореме Птолемея 
тогда 
откуда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх