Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 520848

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 10. Известно, что AB = BC = CD = 6.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Решение.

а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стянутые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.

б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов для треугольника ABC имеем синус \alpha = дробь, числитель — AB, знаменатель — 2R =0,3.

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому \angle{BAC}=\angle{BCA}= \alpha. Значит, \angle{BAC} плюс \angle{CAD}= 2 \alpha. Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому \angle{CDA}=\angle{BAD}=2\alpha. Значит,

\angle{ACD}=180 в степени circ минус \angle{CAD} минус \angle{CDA}=180 в степени circ минус 3\alpha.

По теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем:

2R = дробь, числитель — AD, знаменатель — синус (180 в степени circ минус 3\alpha) = дробь, числитель — AB, знаменатель — синус {\alpha },
откуда, используя формулу синуса тройного угла, получаем:

AD= дробь, числитель — синус 3\alpha, знаменатель — синус \alpha умножить на {AB}= дробь, числитель — 3 синус \alpha минус 4 синус в степени 3 {\alpha}, знаменатель — синус \alpha умножить на {AB}= левая круглая скобка 3 минус 4 синус в степени 2 {\alpha} правая круглая скобка умножить на {AB}=15,84.

 

Приведем другое решение пункта б)

Заметим, что центр описанной окружности лежит вне трапеции. Проведем две высоту трапеции BH — из вершины B и параллельную ей прямую EF проходящую через центр окружности. Обозначим AE = x, OE = y. Тогда из треугольника AOE по теореме Пифагора имеем x в степени 2 плюс y в степени 2 =100, а из треугольника BOF: OF= корень из { 91}. Тогда высота трапеции BH=EF= корень из { 91} минус y, а AH = x – 3. Напишем теорему Пифагора для треугольника ABH:

 

(x минус 3) в степени 2 плюс ( корень из { 91} минус y) в степени 2 =6 в степени 2 равносильно x в степени 2 минус 6x плюс 9 плюс 91 минус 2y корень из { 91} плюс y в степени 2 =36 равносильно

 равносильно 2y корень из { 91}=164 минус 6x равносильно y= дробь, числитель — 82 минус 3x, знаменатель — корень из { 91 }.

Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.

 

x в степени 2 плюс дробь, числитель — (82 минус 3x) в степени 2 , знаменатель — 91 =100 равносильно 100x в степени 2 минус 6 умножить на 82x плюс 82 в степени 2 минус 91 умножить на 100=0 равносильно 25x в степени 2 минус 3 умножить на 41x плюс 41 в степени 2 минус 91 умножить на 25=0 равносильно

x= дробь, числитель — 3 умножить на 41\pm корень из { 9 умножить на 41 в степени 2 минус 4 умножить на 25(41 в степени 2 минус 91 умножить на 25)}, знаменатель — 50 = дробь, числитель — 3 умножить на 41\pm корень из { 91 умножить на 4 умножить на 25 в степени 2 минус 41 в степени 2 умножить на 91}, знаменатель — 50 = дробь, числитель — 3 умножить на 41\pm корень из { 91(50 в степени 2 минус 41 в степени 2 )}, знаменатель — 50 = дробь, числитель — 3 умножить на 41\pm3 умножить на 91, знаменатель — 50 равносильно левая квадратная скобка \begin{array}{l}x= минус 3, x=\dfrac{396}{50}=7,92.\end{array}.

Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 15,84.

 

Приведем решение пункта б), присланное читателем сайта.

Так как AB = BC = CD, эти хорды стягивают равные дуги. Значит, \angle BAC=\angle CAD=\alpha, \angle BAD=2 \alpha. По теореме синусов для треугольника ABC имеем:  синус \alpha= дробь, числитель — AB, знаменатель — 2R =0,3, откуда

 косинус BAD= косинус 2\alpha=1 минус 2 синус в степени 2 \alpha=1 минус 2 умножить на 0,09=0,82.

 

Опустим высоту BH на основание AD. Тогда

AD=2AH плюс BC=2AB косинус BAD плюс BC=2 умножить на 6 умножить на 0,82 плюс 6=9,84 плюс 6=15,84.

 

Ответ: б) 15,84.


Аналоги к заданию № 520848: 520786 Все

Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 402 (C часть)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2018
Методы алгебры: Тригонометрические формулы для тройных углов
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники