Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Угол между двумя со­сед­ни­ми сто­ро­на­ми пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, равен 108°. Най­ди­те число вер­шин мно­го­уголь­ни­ка.

Сумма углов n-уголь­ни­ка равна 180°(n − 2). Каж­дый из них равен 108°, по­это­му, с дру­гой сто­ро­ны, эта сумма равна 108°n. Решим урав­не­ние 180°(n − 2)  =  108°n. По­лу­чим 72°n  =  360°, от­ку­да n  =  5. Таким об­ра­зом, мно­го­уголь­ник имеет 5 вер­шин.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник AOB, где А и B  — со­сед­ние вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка, О  — центр окруж­но­сти (см. рис.). Углы при ос­но­ва­нии тре­уголь­ни­ка равны равны 54°, сле­до­ва­тель­но, угол при вер­ши­не равен 72°. Тогда n  =  360° : 72°  =  5. Таким об­ра­зом, мно­го­уголь­ник имеет 5 вер­шин.

Ответ: 5.