Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, про­ве­де­ны три ка­са­тель­ные. Пе­ри­мет­ры от­се­чен­ных тре­уголь­ни­ков равны 6, 8, 10. Най­ди­те пе­ри­метр дан­но­го тре­уголь­ни­ка.

По­ка­жем, что сумма пе­ри­мет­ров от­се­чен­ных тре­уголь­ни­ков равна сумме длин сто­рон тре­уголь­ни­ка АВС, то есть равна его пе­ри­мет­ру. От­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из точек K, H, O, F, N, M со­от­вет­ствен­но равны друг другу (см. рис., рав­ные от­рез­ки вы­де­ле­ны оди­на­ко­вы­ми цве­та­ми). Сле­до­ва­тель­но,

Сло­жим пра­вые части по­лу­чен­ных ра­венств:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 24.