Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 6 № 6429

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале ( минус 6;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Спрятать решение

Решение.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.

 

Ответ: 14.

Классификатор базовой части: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 4.1.1 Понятие о производной функции, геометрический смысл производной, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Татьяна Захожая 22.10.2016 13:31

Здравствуйте! Как я понимаю, в точке х=2 производная равна нулю, следовательно, это точка минимума, то есть число 2 не включается в интервал, и тогда сумма равна 3+4+5=12

Сергей Никифоров

Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки при­со­еди­ня­ют­ся как к про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния, так и к про­ме­жут­кам убы­ва­ния, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.

Фарит Ямаев 26.10.2016 18:50

Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.

Служба поддержки

Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции y=|x|, y=x в степени 2 , y=x в степени 3 — все они возрастают на отрезке [0; 1].

Владлен Писарев 02.11.2016 22:21

Автор прав,но...

Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке [a;b]. Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.

Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.

Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) - входят.

Учитывая, что первая часть ЕГЭ для "средней группы детского сада", то наверное такие нюансы- перебор.

Отдельно, большое спасибо за "Решу ЕГЭ" всем сотрудникам- отличное пособие.

Сергей Никифоров

Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.

Ирина Ишмакова 20.11.2017 11:46

Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу. Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.

Александр Иванов

В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.

В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.

Противоречия нет.

Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.

A Z 28.01.2019 19:09

Коллеги, есть понятие возрастания в точке

(см. Фихтенгольц например)

и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.

Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.

В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.

Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.

Александр Иванов

Коллега.

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке [2; 6) функция возрастает.

После нахождения промежутков просят найти какие целые числа попадают в эти промежутки.

В условии и в решении не идёт речи о возрастании в точке.

Речь в задании о промежутках возрастания.

Maria Zhokhova 07.12.2019 20:11

Господа, добрый день!

На мой взгляд, в решении ошибка: x=2 не должен включаться в решение. В учебнике Ильина, Позняка «Основы математического анализа» (гл. 8 Основные теоремы о непрерывных функциях, § 7 Возрастание (убывание) функции в точке (стр 260 в 7-м издании 2005 года) дано такое определение:

 

Говорят, что функции f(x) возрастает (убывает) в точке c, если найдется такая окрестность точки c, в пределах которой f(x)>f(c) при x>c и f(x)<f(c) при x<c (f(x)<f(c) при x>c и f(x)>f(c) при x<c).

 

В нашем случае точка x=2 не удовлетворяет этому условию. В пояснениях и комментариях не приведено ни одной ссылки на достоверный источник. Это учебник для вузов, в том числе для МГУ. Создан на основе лекций, читавшихся на физическом факультете и ВМК МГУ еще в советское время. Учебник МГУ представляется мне достаточным основанием для изменения решения. Спасибо.

Служба поддержки

Этот учебник у нас тоже есть. Пусть, например, функция f задана на области, состоящей из трех точек: D = {1, 2, 3}, и пусть f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Тогда f возрастает на множестве {1, 2} и убывает на множестве {2, 3}. А непрерывность тут вообще ни при чем.