За­ме­тим, что если среди вы­пи­сан­ных чисел есть число 1, то по­пар­ные суммы всех осталь­ных чисел будут де­лить­ся на 1.

а)  Может. На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 1025 (вы­пи­са­но 513 нечётных чисел от 1 до 1025 и число 2). Сумма 1 и лю­бо­го нечётного числа де­лит­ся на 2, сумма 1 и 2 де­лит­ся на 3, сумма любых двух чисел, от­лич­ных от 1, де­лит­ся на 1.

Дру­гой при­мер: 1, 2, 3, 4, ... , 513, 1025. Если среди двух чисел нет 1, то их сумма де­лит­ся на 1. Если вме­сте с 1 вы­пи­са­ны числа k и k  1, то сумма пер­вых двух де­лит­ся на тре­тье; остав­ши­е­ся суммы 1 + 513 и 1⁠+ 1025 де­лят­ся на 2.

б)  Может. На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 1025. Дру­гой при­мер  — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a  =  205.

в)  Набор чисел 1, 2, 3, 1025 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию. До­ка­жем, что три числа взять нель­зя.

По­ка­жем, что трёх чисел быть не может. Дей­стви­тель­но, пусть три раз­лич­ных числа та­ко­вы, что Тогда

от­ку­да в силу де­ли­мо­сти суммы двух мень­ших чисел на боль­шее по­лу­ча­ем: Тогда

от­ку­да в силу де­ли­мо­сти на b по­лу­ча­ем: Тогда а ис­ко­мая трой­ка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По усло­вию одно из этих чисел равно 1025, по­сколь­ку 1025 не де­лит­ся ни на 2, ни на 3, им может быть толь­ко число a. Но в этом слу­чае Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  4, на­при­мер, 1, 2, 3, 1025.