За­ме­тим, что если среди вы­пи­сан­ных чисел есть число 1, то по­пар­ные суммы всех осталь­ных чисел будут де­лить­ся на 1.

а)  Может. На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015 (вы­пи­са­но 1008 нечётных чисел от 1 до 2015 и число 2). Сумма 1 и лю­бо­го нечётного числа де­лит­ся на 2, сумма 1 и 2 де­лит­ся на 3, сумма любых двух чисел, от­лич­ных от 1, де­лит­ся на 1.

Дру­гой при­мер: 1, 2, 3, ..., 1007, 2014, 2015. Если среди двух чисел нет 1, то их сумма де­лит­ся на 1. Если вме­сте с 1 вы­пи­са­ны числа k и k + 1, то сумма пер­вых двух де­лит­ся на тре­тье; остав­ши­е­ся суммы 1 + 1007 и 1 + 2015 де­лят­ся на 2.

Тре­тий при­мер: 1, 2, 3, 5, 6, ... , 1009, 2015 (в груп­пе под­ряд иду­щих чисел про­пу­ще­но 4).

б)  Может. На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 2015. Дру­гой при­мер  — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a  =  403.

в)  При­мер для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2015. Дру­гой при­мер  — числа a, 2a, 3a, 5a, где a  =  403.

По­ка­жем, что трёх чисел быть не может. Дей­стви­тель­но, пусть три раз­лич­ных числа та­ко­вы, что a < b < c. Тогда a + b < 2b < b + c < 2c, от­ку­да в силу де­ли­мо­сти суммы двух мень­ших чисел на боль­шее по­лу­ча­ем: a + b  =  c. Тогда b < a + c  =  2a + b < 3b, от­ку­да в силу де­ли­мо­сти а + с на b по­лу­ча­ем: a + c  =  2b. Тогда b  =  2a, c  =  3a, а ис­ко­мая трой­ка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По усло­вию одно из этих чисел равно 2015, по­сколь­ку 2015 не де­лит­ся ни на 2, ни на 3, им может быть толь­ко число a. Но в этом слу­чае 3a > 5000. Про­ти­во­ре­чие.

При­ведём дру­гое до­ка­за­тель­ство.

Пусть даны числа a, b, c, и сумма любых двух из них де­лит­ся на тре­тье. Если они все имеют от­лич­ный от 1 наи­боль­ший общий де­ли­тель d, то на него можно со­кра­тить, и свой­ство де­ли­мо­сти со­хра­нит­ся. Будем счи­тать, что все три числа вза­им­но про­стые. По­сколь­ку сумма двух чисел де­лит­ся на тре­тье, то сумма всех чисел де­лит­ся на каж­дое. Числа по­пар­но вза­им­но про­сты, по­это­му их сумма долж­на де­лить­ся на про­из­ве­де­ние. В част­но­сти, a + b + c ≥ abc. По­ла­гая a < b < c, имеем a + b + c < 3c, от­ку­да ab < 3. Сле­до­ва­тель­но, a = 1, b = 2. При этом c + 3 де­лит­ся на 2c, по­это­му c  =  3. Таким об­ра­зом, трой­ка чисел долж­на иметь вид d, 2d, 3d. По­сколь­ку 2015 нечётно и не де­лит­ся на 3, оно равно d, но тогда 3d > 5000.

Ответ: а)  может, на­при­мер числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2015; б)  может, на­при­мер числа 1, 2, 3, 5, 2015; в)  4, на­при­мер, 1, 2, 3, 2015.

а)  На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2045 (вы­пи­са­но 1023 нечётных числа от 1 до 2045 и число 2). Сумма 1 и лю­бо­го нечётного числа де­лит­ся на 2, сумма 1 и 2 де­лит­ся на 3, сумма любых двух чисел, от­лич­ных от 1, де­лит­ся на 1. Есть и дру­гие при­ме­ры.

б)  На­при­мер, под­хо­дят числа 1, 2, 3, 5, 2045.

в)  При­мер для четырёх чисел: 1, 2, 3, 2045. По­ка­жем, что трёх чисел быть не может. Дей­стви­тель­но, пусть три раз­лич­ных числа та­ко­вы, что Тогда:

от­ку­да в силу де­ли­мо­сти суммы двух мень­ших чисел на боль­шее по­лу­ча­ем: Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да в силу де­ли­мо­сти а  +  с на b по­лу­ча­ем, что Тогда b  =  2a и c  =  3a, а ис­ко­мая трой­ка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По усло­вию одно из этих чисел равно 2045. По­сколь­ку число 2045 не де­лит­ся ни на 2, ни на 3, им может быть толь­ко число a. Но в этом слу­чае Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  да, на­при­мер: 1, 2, 3, 5, 7, ..., 2045; б)  может, на­при­мер: 1, 2, 3, 5, 2045; в)  4, на­при­мер, 1, 2, 3, 2045.

За­ме­тим, что если среди вы­пи­сан­ных чисел есть число 1, то по­пар­ные суммы всех осталь­ных чисел будут де­лить­ся на 1.

а)  Может. На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 7, ..., 1025 (вы­пи­са­но 513 нечётных чисел от 1 до 1025 и число 2). Сумма 1 и лю­бо­го нечётного числа де­лит­ся на 2, сумма 1 и 2 де­лит­ся на 3, сумма любых двух чисел, от­лич­ных от 1, де­лит­ся на 1.

Дру­гой при­мер: 1, 2, 3, 4, ... , 513, 1025. Если среди двух чисел нет 1, то их сумма де­лит­ся на 1. Если вме­сте с 1 вы­пи­са­ны числа k и k  1, то сумма пер­вых двух де­лит­ся на тре­тье; остав­ши­е­ся суммы 1 + 513 и 1⁠+ 1025 де­лят­ся на 2.

б)  Может. На­при­мер, числа 1, 2, 3, 5, 1025. Дру­гой при­мер  — числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, где a  =  205.

в)  Набор чисел 1, 2, 3, 1025 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию. До­ка­жем, что три числа взять нель­зя.

По­ка­жем, что трёх чисел быть не может. Дей­стви­тель­но, пусть три раз­лич­ных числа та­ко­вы, что Тогда

от­ку­да в силу де­ли­мо­сти суммы двух мень­ших чисел на боль­шее по­лу­ча­ем: Тогда

от­ку­да в силу де­ли­мо­сти на b по­лу­ча­ем: Тогда а ис­ко­мая трой­ка чисел имеет вид a, 2a, 3a. По усло­вию одно из этих чисел равно 1025, по­сколь­ку 1025 не де­лит­ся ни на 2, ни на 3, им может быть толь­ко число a. Но в этом слу­чае Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  4, на­при­мер, 1, 2, 3, 1025.