а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все бо­ко­вые ребра равны, а вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны BC. Через точки A, B и се­ре­ди­ну ребра SC про­хо­дит плос­кость α,

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро SD в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от точки D.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и SCD, если вы­со­та пи­ра­ми­ды в че­ты­ре раза мень­ше, чем сто­ро­на BC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 600 тысяч руб­лей на 24 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐⁠го по 14‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко руб­лей уве­ли­чит­ся сумма вы­плат, если взять кре­дит с та­ки­ми же усло­ви­я­ми на 30 ме­ся­цев?

Впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC окруж­ность ω₁ ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке N так, что CN : NB  =  1 : 2. Окруж­ность ω₂ ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке M так, что BM : MC  =  1 : 2, а также ка­са­ет­ся про­дол­же­ния сто­ро­ны AC за точку C.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB ка­са­ет­ся окруж­но­сти ω₂.

б)  Най­ди­те угол BAC, если BC ⊥ AC.

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

имеет одно ре­ше­ние.

Сер­гей, Аня и Дима иг­ра­ют в числа. Сер­гей и Аня за­пи­сы­ва­ют в блок­но­те по дву­знач­но­му на­ту­раль­но­му числу, а Дима на­хо­дит про­из­ве­де­ние этих чисел.

а)  Может ли у Димы в ре­зуль­та­те пе­ре­мно­же­ния чисел Ани и Сер­гея по­лу­чить­ся трёхзнач­ное число, за­пи­сан­ное оди­на­ко­вы­ми циф­ра­ми и крат­ное 4?

б)  Может ли у Димы по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те четырёхзнач­ное число, за­пи­сан­ное оди­на­ко­вы­ми циф­ра­ми?

в)  Сколь­ко всего раз­лич­ных не­упо­ря­до­чен­ных пар дву­знач­ных чисел могут по­до­брать Сер­гей и Аня, чтобы у Димы по­лу­чи­лось число, за­пи­сан­ное оди­на­ко­вы­ми циф­ра­ми?